MATEM\u00c1TICAS, \u00c1LGEBRA Y GEOMETR\u00cdA. <\/b>No es posible hablar de ninguna matem\u00e1tica b\u00edblica espec\u00edfica . Ni el AT ni el NT fueron producto de culturas que llevaran una tradici\u00f3n matem\u00e1tica propia por encima del nivel normal de "matem\u00e1ticas populares". Pero ambos Testamentos fueron producto de culturas en contacto con tradiciones matem\u00e1ticas bien establecidas y sofisticadas.<\/p>\n
Uno de ellos es la tradici\u00f3n sumerio-babil\u00f3nica, conocida por una gran cantidad de tablillas cuneiformes. Aunque probablemente menos vigorosa que en el 2d milenio temprano AC , esta tradici\u00f3n todav\u00eda estaba vivo durante el exilio de Babilonia. Adem\u00e1s, aparentemente se reflej\u00f3 en la educaci\u00f3n de los escribas y en las formas de los practicantes en toda el \u00e1rea de Siria durante el segundo y gran parte del primer milenio a. C.<\/p>\n
Otra tradici\u00f3n matem\u00e1tica de cierta importancia para el AT es la del antiguo Egipto. Ya a mediados de 2d milenio ANTES DE CRISTO Siria fue pol\u00edtica y comercialmente conectado a Egipto; la historia de Jos\u00e9 en G\u00e9nesis muestra una visi\u00f3n israelita sobre precisamente las caracter\u00edsticas de la econom\u00eda egipcia que moldearon las matem\u00e1ticas egipcias; y en los siglos de la monarqu\u00eda dividida, los israelitas adoptaron la escritura num\u00e9rica hier\u00e1tica egipcia.<\/p>\n
El NT fue escrito en el mundo helen\u00edstico y en griego. A pesar de esto, el alto nivel "te\u00f3rico" de las matem\u00e1ticas griegas no ha dejado rastros en el texto del NT. Sin embargo, varias corrientes cuasi filos\u00f3ficas que dependen de las matem\u00e1ticas te\u00f3ricas griegas se reflejan tanto en el texto del NT como en los comentarios exeg\u00e9ticos antiguos y medievales.<\/p>\n
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A. El sustrato "folk"<\/p>\n
B. Matem\u00e1ticas babil\u00f3nicas<\/p>\n
C. Descendientes sirios<\/p>\n
D. Matem\u00e1ticas egipcias<\/p>\n
E. Matem\u00e1ticas griegas y helen\u00edsticas y sus consecuencias<\/p>\n
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A. El sustrato "folk"<\/b><\/p>\n
Mucho antes de que el conocimiento matem\u00e1tico se tomara prestado de las tradiciones matem\u00e1ticas vecinas de alto nivel, los primeros hebreos eran b\u00e1sicamente competentes en numeraci\u00f3n y metrolog\u00eda. Esto se deriva principalmente de argumentos indirectos: la evidencia sugiere que su nivel cultural y contexto eran tales que necesitaban conceptos matem\u00e1ticos (especialmente en las relaciones comerciales con otros), al igual que todas las poblaciones del Cercano Oriente en los milenios 2 y 1 a. C. Los argumentos ling\u00fc\u00edsticos apoyan la conclusi\u00f3n y inf\u00f3rmenos al mismo tiempo de los l\u00edmites probables de las habilidades de contar de la "gente": heb mē˒ot, "cien", es una palabra sem\u00edtica com\u00fan. Heb lĕ˒ōm, "el pueblo", por otro lado, corresponde a Akk lim, "mil", mientras que Heb ˒elep, "mil", corresponde al et\u00edope "diez mil". Los ancestros comunes de los diferentes grupos semitas se han contado por lo tanto en los cientos antes de separarse, no m\u00e1s tarde del cuarto milenio ANTES DE CRISTO ; pero no pueden haber contado rutinariamente en miles. Cuando eso se hizo necesario, las diferentes ramas tomaron prestados t\u00e9rminos de forma independiente entre s\u00ed.<\/p>\n
Un rastro de actitudes "primitivas" hacia los n\u00fameros y el conteo se puede encontrar en 2 Samuel 24 (y 1 Cr\u00f3nicas 21), donde David cuenta a su pueblo y es castigado por su temeridad. Este miedo (o tab\u00fa) de contar las pertenencias est\u00e1 de hecho generalizado entre poblaciones que no est\u00e1n familiarizadas con los estados y la administraci\u00f3n centralizada o est\u00e1n alejados de ellos.<\/p>\n
Tanto por la gran cantidad de personas involucradas como porque no hay rastros aparentes de tal alejamiento de los caminos de la civilizaci\u00f3n, los muchos otros censos encontrados en el Antiguo Testamento no pueden conectarse a este sustrato etnomatem\u00e1tico. La aparici\u00f3n de la metrolog\u00eda babil\u00f3nica prestada (el \u009aeqel ), utilizada en las proximidades de los censos importantes en el libro de N\u00fameros, tambi\u00e9n habla a favor de un posible pr\u00e9stamo de los h\u00e1bitos y t\u00e9cnicas de las civilizaciones m\u00e1s antiguas vecinas.<\/p>\n
B. Matem\u00e1ticas babil\u00f3nicas<\/b><\/p>\n
La matem\u00e1tica babil\u00f3nica fue, en su origen, una descendencia de la civilizaci\u00f3n temprana, entendida etimol\u00f3gicamente como formaci\u00f3n incipiente del estado. B\u00e1sicamente, era una actividad de escribas, realizada por escribas y practicantes similares y utilizada con fines pr\u00e1cticos, y dado que casi todas las aplicaciones pr\u00e1cticas de las matem\u00e1ticas antes de la era cl\u00e1sica consist\u00edan en el c\u00e1lculo de algo, la etiqueta poco ortodoxa de "c\u00e1lculo babil\u00f3nico" encajar\u00eda mejor con el esfuerzo. que el nombre "matem\u00e1ticas" (que, no obstante, se utilizar\u00e1 a continuaci\u00f3n).<\/p>\n
Esto no significa que las matem\u00e1ticas babil\u00f3nicas consistieran en nada m\u00e1s que un conjunto de f\u00f3rmulas de los practicantes. En primer lugar, como se argumentar\u00e1 a continuaci\u00f3n, las calculadoras babil\u00f3nicas sab\u00edan lo que estaban haciendo y por qu\u00e9 lo hac\u00edan. En segundo lugar, como muchos entornos profesionales que hac\u00edan un uso intensivo de las matem\u00e1ticas, la cultura de escribas babil\u00f3nica produjo un nivel de problemas te\u00f3ricos (es decir, pr\u00e1cticamente no relevantes en la pr\u00e1ctica) particularmente complejos con las t\u00e9cnicas auxiliares, especialmente en el campo del \u00e1lgebra.<\/p>\n
Tradicionalmente, solo las matem\u00e1ticas de los per\u00edodos babil\u00f3nico antiguo y sel\u00e9ucida se han investigado y discutido en la literatura. Sin embargo, desde mediados de la d\u00e9cada de 1970 en adelante, se han descubierto varios textos que esbozan el desarrollo de las matem\u00e1ticas babil\u00f3nicas desde los comienzos proto-sumerios alrededor del 3000 a. C. hasta los per\u00edodos babil\u00f3nico tard\u00edo y sel\u00e9ucida. Algunos de estos textos y las conclusiones extra\u00eddas han sido publicados; pero otros (a partir de febrero de 1989) solo se han presentado en los Talleres sobre Desarrollo de Conceptos en Matem\u00e1ticas (Berl\u00edn Occidental, 1983, 1984, 1985, 1988), especialmente por J\u00f6ran Friberg, Peter Damerow, Robert Englund y Marvin Powell, Jr.<\/p>\n
Ya mucho antes de finales del IV milenio, en la regi\u00f3n del Cercano y Medio Oriente se hab\u00eda utilizado un sistema de registro o contabilidad aritm\u00e9tica basado en peque\u00f1as fichas de arcilla (Schmandt-Besserat 1977). En el per\u00edodo Uruk IV (finales del IV milenio, el per\u00edodo de formaci\u00f3n del Estado que tambi\u00e9n fue testigo del desarrollo de la escritura), este sistema parece haber inspirado tanto el desarrollo de la escritura como el de las notaciones num\u00e9ricas y metrol\u00f3gicas. En lo que respecta a las matem\u00e1ticas, se inici\u00f3 una tendencia hacia la armonizaci\u00f3n de los distintos sistemas. As\u00ed que la unidad de \u00e1rea SAR (aparentemente significa una parcela de jard\u00edn, el \u00e1rea a ser regada de un solo pozo y, en cualquier caso, una "unidad natural") lleg\u00f3 a entenderse como el cuadrado de la unidad de longitud b\u00e1sica (el NINDAN , ≈ 6 metro) y, en general, todo el sistema de medidas de \u00e1rea se adapt\u00f3 al sistema lineal (v\u00e9ase Powell 1972). Adem\u00e1s, se desarrollaron metrolog\u00edas de subunidades, hasta donde se puede juzgar, m\u00e1s all\u00e1 del rango del sistema tradicional. Todo el sistema estaba interconectado de una manera que pronto permiti\u00f3 c\u00e1lculos coherentes que vinculaban extensiones aritm\u00e9ticamente lineales, \u00e1reas, tiempo y otras cantidades que pertenec\u00edan juntas en la pr\u00e1ctica t\u00e9cnica o social (parte de los antecedentes de estas declaraciones solo se ha presentado en talleres y es como a\u00fan in\u00e9dito, pero v\u00e9anse, por ejemplo, algunos ejemplos presentados por Friberg [1984] y la descripci\u00f3n general impl\u00edcita en Damerow y Englund 1987).<\/p>\n
Sin duda, las matem\u00e1ticas proto-sumerias fueron creadas con el prop\u00f3sito de la administraci\u00f3n pr\u00e1ctica en lo que la antropolog\u00eda econ\u00f3mica llama una -econom\u00eda redistributiva-; la sustituci\u00f3n de unidades naturales pero no conectadas por un complejo de metrolog\u00edas conectadas matem\u00e1ticamente que corresponden a las necesidades del funcionario de planificaci\u00f3n y contabilidad m\u00e1s que a las del productor inmediato. Pero la complejidad del sistema parece ir m\u00e1s all\u00e1 incluso de las necesidades burocr\u00e1ticas. Aunque es dif\u00edcil distinguir posibles tablillas escolares de textos indudablemente administrativos (s\u00f3lo estos \u00faltimos contienen nombres de funcionarios), es por tanto una suposici\u00f3n justa que la ra\u00edz inmediata de la reorganizaci\u00f3n de un conjunto de t\u00e9cnicas aritm\u00e9ticas como matem\u00e1ticas coherentes fue la ense\u00f1anza en la escuela del templo (esto se discute m\u00e1s de cerca en H\u00f8yrup 1980: 14-17).<\/p>\n
La administraci\u00f3n temprana parece no haber distinguido la burocracia de otras funciones sacerdotales, y nada en la sustancia matem\u00e1tica distingue los posibles ejercicios escolares de otros textos de c\u00e1lculo. S\u00f3lo alrededor de la mediados 3d milenio es el t\u00e9rmino para escriba ( DUB-SAR) encontrado en las fuentes; En este momento tambi\u00e9n nos encontramos con el uso no burocr\u00e1tico de las herramientas profesionales de los escribas: textos literarios y ejercicios matem\u00e1ticos m\u00e1s all\u00e1 del contexto de la administraci\u00f3n diaria, este \u00faltimo tratando, por ejemplo, con la divisi\u00f3n de n\u00fameros extremadamente grandes por divisores irregulares como 7 y 33 ( un tema que domina el peque\u00f1o grupo de ejercicios matem\u00e1ticos de mediados del tercer milenio de \u008auruppak y Ebla; v\u00e9anse Friberg [1986: 16-22]; H\u00f8yrup [1982]). Aunque tales problemas no habr\u00e1n tenido un papel significativo en la administraci\u00f3n pr\u00e1ctica, evidentemente fueron una preocupaci\u00f3n central para una profesi\u00f3n de escribano que probaba sus propias habilidades intelectuales.<\/p>\n
La tendencia hacia una creciente regularizaci\u00f3n continu\u00f3 a lo largo del tercer milenio y se materializ\u00f3 en Ur III (siglo XXI AC ) (v\u00e9ase Powell 1976). A principios del per\u00edodo Ur III se implement\u00f3 una reforma administrativa que hizo un uso extensivo de una contabilidad sistem\u00e1tica y extremadamente meticulosa. Parece probable que fue para su uso en este contexto que se cre\u00f3 el sistema de valor posicional sexagesimal. Ver N\u00daMEROS Y CONTAR. No se han encontrado ejercicios escolares de matem\u00e1ticas que apunten m\u00e1s all\u00e1 del dominio administrativo y, a partir de paralelismos en otros dominios culturales, parece ser una suposici\u00f3n razonable que el estado centralizado hab\u00eda agotado las fuentes para la autonom\u00eda de los escribas y, por lo tanto, para un mayor desarrollo de las matem\u00e1ticas no utilitarias.<\/p>\n
Las matem\u00e1ticas no utilitarias fueron, por otro lado, fundamentales para las matem\u00e1ticas OB , que est\u00e1n bien documentadas en las fuentes (1900 a 1600 a. C. , principalmente la segunda parte de este per\u00edodo de tiempo). En este per\u00edodo, que se caracteriz\u00f3 por una econom\u00eda altamente individualizada (en comparaci\u00f3n con otras culturas de la Edad del Bronce) y por una ideolog\u00eda que enfatizaba al individuo como persona privada, la escuela de escribas desarroll\u00f3 un plan de estudios que enfatizaba el virtuosismo m\u00e1s all\u00e1 de lo pr\u00e1cticamente necesario; los triunfos de las matem\u00e1ticas "puras" babil\u00f3nicas, no menos el "\u00e1lgebra", parecen ser un producto precisamente de esta escuela de escribas OB y cultura de escribas (ver H\u00f8yrup 1985: 10-16).<\/p>\n
Hasta Ur III, todos los textos matem\u00e1ticos hab\u00edan estado en sumerio; incluso en Ebla de habla sem\u00edtica, las matem\u00e1ticas sumerias se asumieron en el idioma original. Las antiguas matem\u00e1ticas babil\u00f3nicas, por el contrario, fueron escritas en acadio, evidencia suplementaria de que representan un nuevo g\u00e9nero y una ruptura con la tradici\u00f3n Ur III (plausiblemente m\u00e1s puramente utilitaria). Es cierto que bastantes textos est\u00e1n escritos predominantemente por medio de logogramas sumerios; pero el an\u00e1lisis gramatical muestra que todos, excepto un pu\u00f1ado de estos signos de palabras, son simplemente representaciones el\u00edpticas de palabras y oraciones acadias.<\/p>\n
Muchas tablas matem\u00e1ticas desde el per\u00edodo OB en adelante son compilaciones que contienen una variedad de problemas diferentes. A menudo, los problemas utilitarios y te\u00f3ricos se encuentran juntos; pero los asuntos matem\u00e1ticos y no matem\u00e1ticos generalmente no se tratan en los mismos textos. Obviamente, las matem\u00e1ticas OB no se dividieron en disciplinas completamente distintas; por otro lado, las matem\u00e1ticas en su conjunto eran una preocupaci\u00f3n aut\u00f3noma, tal vez incluso (en forma de ingenier\u00eda, agrimensura y contabilidad, o como especialidad docente) una vocaci\u00f3n distinta.<\/p>\n
En 1600 AC, la conquista kasita puso fin al orden social OB, a la antigua escuela de escribas, a la ideolog\u00eda caracter\u00edstica del escribano OB, y al mismo tiempo a la forma caracter\u00edstica de las matem\u00e1ticas OB. La formaci\u00f3n de escribas fue a partir de ahora proporcionada por -familias- de escribas como aprendizaje; y as\u00ed, hasta cierto punto, la matem\u00e1tica lleg\u00f3 a mezclarse con otras asignaturas en las mismas tablillas, habiendo perdido su autonom\u00eda disciplinaria. El "matem\u00e1tico" a partir de ahora se identificar\u00eda a s\u00ed mismo en los colofones de las tablas, por ejemplo, como "exorcista" ( Akk ā\u009aipu ) o "sacerdote" ( Akk \u009aang\u00fb ).<\/p>\n
En los primeros siglos despu\u00e9s de la conquista kasita, los textos matem\u00e1ticos son pr\u00e1cticamente inexistentes, aunque recientemente se han descubierto algunas tablillas matem\u00e1ticas de Babilonia tard\u00eda (una de ellas aparecer\u00e1 en Friberg y Hunger, fc. ). En la era sel\u00e9ucida, el desarrollo de la astronom\u00eda computacional (comenzando ya bajo los aquem\u00e9nidas) dio lugar a un renacimiento de la computaci\u00f3n num\u00e9rica y, como secuela, de algunos de los viejos problemas te\u00f3ricos.<\/p>\n
Como ya se dijo, las matem\u00e1ticas babil\u00f3nicas realmente significan "computaci\u00f3n". En los c\u00e1lculos intermedios utiliz\u00f3 el sistema de valor posicional sexagesimal. Ver N\u00daMEROS Y CONTAR. El uso de este sistema y la conversi\u00f3n de valores metrol\u00f3gicos en -n\u00fameros puros- (y al rev\u00e9s, despu\u00e9s de que se encontr\u00f3 un resultado) presupon\u00eda un uso extensivo de tablas matem\u00e1ticas, metrol\u00f3gicas y t\u00e9cnicas. El primer grupo comprende tablas de multiplicaci\u00f3n y de rec\u00edprocos (la divisi\u00f3n m \/ n se realiz\u00f3 como una multiplicaci\u00f3n m ∙ \u00b9 \/ n ), tablas de cuadrados y ra\u00edces cuadradas y de cubos y ra\u00edces c\u00fabicas, tablas de la ra\u00edz n de n 3 + n 2, e incluso bastantes tablas de potencias sucesivas de un n\u00famero. El segundo grupo contiene conversiones tabuladas de valores metrol\u00f3gicos en m\u00faltiplos sexagesimales de la unidad b\u00e1sica y tablas t\u00e9cnicas que contienen "factores fijos" para ser utilizados en el c\u00e1lculo t\u00e9cnico (la relaci\u00f3n entre el di\u00e1metro al cuadrado y el \u00e1rea de un c\u00edrculo; la cantidad de ladrillos a ser transportado por un trabajador a una distancia determinada en un d\u00eda).<\/p>\n
Los contenidos b\u00e1sicos de la matem\u00e1tica utilitaria babil\u00f3nica corresponden a las siguientes tablas: tablas de multiplicar, tablas de rec\u00edprocos, tablas metrol\u00f3gicas (que eran ayudas para el c\u00e1lculo) y tablas t\u00e9cnicas que constitu\u00edan el nexo entre el c\u00e1lculo matem\u00e1tico y la realidad administrativa y de ingenier\u00eda. Las matem\u00e1ticas se ense\u00f1aban en la escuela porque los escribas deb\u00edan poder calcular las \u00e1reas de los campos, el volumen de los canales que se excavar\u00edan y de las rampas de asedio que se construir\u00edan y, no menos importante, la mano de obra necesaria para estas tareas. Todos estos c\u00e1lculos se hicieron casi como se har\u00edan hoy, con una excepci\u00f3n importante: los babilonios no ten\u00edan el concepto de \u00e1ngulo cuantificable y, por lo tanto, nada similar a la trigonometr\u00eda. En la medici\u00f3n pr\u00e1ctica, dividir\u00edan campos complicados en tri\u00e1ngulos "pr\u00e1cticamente rectos", Trapecios -pr\u00e1cticamente correctos- y cuadr\u00e1ngulos -pr\u00e1cticamente rectangulares- (distinguiendo, podr\u00edamos decir, un \u00e1ngulo -correcto- de uno -incorrecto-). Luego calcular\u00edan como lo hacemos nosotros, sabiendo que sus resultados no eran la verdad absoluta, pero aparentemente sin tener una idea definida sobre la naturaleza y el tama\u00f1o de los errores. Es de suponer que no ver\u00edan una diferencia decisiva entre la imprecisi\u00f3n de los c\u00e1lculos de mano de obra y los de las determinaciones de superficie.<\/p>\n
Con estas calificaciones, los babilonios conoc\u00edan el \u00e1rea de un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo (en la medici\u00f3n pr\u00e1ctica dividir\u00edan un tri\u00e1ngulo obviamente no recto en dos; en los ejercicios escolares podr\u00edan usar el semiproducto de los dos "mejores" lados). En un texto babil\u00f3nico tard\u00edo tambi\u00e9n encontramos el c\u00e1lculo de una altura (mediante el teorema de Pit\u00e1goras, conocido ya en el per\u00edodo OB). De manera similar, encontrar\u00edan correctamente el \u00e1rea de un rect\u00e1ngulo y de un trapecio "recto". El \u00e1rea de un cuadril\u00e1tero irregular se puede encontrar mediante la "f\u00f3rmula de los top\u00f3grafos", como la longitud promedio multiplicada por el ancho promedio. En la medici\u00f3n pr\u00e1ctica, esta t\u00e9cnica probablemente solo se haya utilizado para cuadr\u00e1ngulos bastante regulares, donde da resultados aceptables. En los textos escolares, la t\u00e9cnica tambi\u00e9n se utiliza como pretexto para formular problemas algebraicos en los casos en que es extremadamente poco realista. El \u00e1rea del c\u00edrculo normalmente se encontr\u00f3 como \u00b9 \/12 veces el cuadrado de la circunferencia (correspondiente a π = 3) y la circunferencia tres veces el di\u00e1metro. (Sin embargo, se ha supuesto que una tabla de constantes contiene un factor de correcci\u00f3n correspondiente a π = 3\u00b9 \/ 8 ).<\/p>\n
Los vol\u00famenes prism\u00e1ticos y cil\u00edndricos se calcularon como base por "altura" (es decir, un lado aproximadamente perpendicular a la base). El volumen de un cono truncado se encontr\u00f3 como el de un cilindro con el di\u00e1metro promedio (que es correcto para un cilindro, y solo tres cuartas partes del valor verdadero en el caso extremo donde el cono no est\u00e1 truncado), y el de un pir\u00e1mide truncada en un texto como altura multiplicada por la base promedio (en otro texto quiz\u00e1s correctamente). En caso de duda, una vez m\u00e1s, los babilonios optar\u00edan por un compromiso (bastante arbitrario) en lugar de rendirse ante las dificultades te\u00f3ricas.<\/p>\n
Los vol\u00famenes prism\u00e1ticos y cil\u00edndricos probablemente se derivaron de una consideraci\u00f3n -ingenua- de proporcionalidad. La unidad b\u00e1sica de \u00e1rea era el SAR , y la unidad b\u00e1sica del volumen 1 SAR POR 1 codo, tambi\u00e9n llamada SAR (para distinguir, los historiadores modernos hablan de un -volumen sar-). Un prisma con base A [ SAR ] y altura 1 [codo] tendr\u00eda entonces un volumen de A [volumen SAR ]; si fuera h codos, por lo tanto h veces m\u00e1s alto, el volumen tendr\u00eda que ser A ∙ h. Aparentemente, se utiliz\u00f3 un argumento de proporcionalidad correspondiente cuando se encontr\u00f3 la altura de una pendiente en casos similares. Ciertas consideraciones terminol\u00f3gicas sugieren que incluso el \u00e1rea de figuras rectangulares se pens\u00f3 originalmente de esta manera.<\/p>\n
Un tipo de problema geom\u00e9trico espec\u00edficamente babil\u00f3nico es la partici\u00f3n de \u00e1reas. Inicialmente, esto puede haber sido un problema pr\u00e1ctico. Sin embargo, a m\u00e1s tardar en el siglo XXIII AC , surge como un problema te\u00f3rico: \u00bfcu\u00e1l es la longitud de la transversal si un trapecio est\u00e1 bisecado por una transversal paralela? En el per\u00edodo OB son habituales problemas a\u00fan m\u00e1s complejos de tipo similar, as\u00ed como otros problemas de divisi\u00f3n m\u00e1s o menos complejos y m\u00e1s o menos artificiales.<\/p>\n
Muchos c\u00e1lculos pr\u00e1cticos, por supuesto, no se refer\u00edan a entidades geom\u00e9tricas, sino a cantidades de grano a cobrar como cuotas, al intercambio comercial y a preocupaciones pragm\u00e1ticas similares. Las t\u00e9cnicas utilizadas se pueden ilustrar parafraseando un problema ilustrativo: se dan dos campos, 1 y 2, de uno de los cuales se COBRAN 4 GUR (1 GUR = 300 QA , 1 QA ≈ 1 litro) de grano por BUR ( = 1800 SAR ), mientras que el otro arroja una renta de 3 GUR por FRESA . Se da el rendimiento total y la diferencia entre las dos \u00e1reas. Primero todo se convierte en m\u00faltiplos sexagesimales de las unidades fundamentales SARy QA , en parte mediante c\u00e1lculo, en parte mediante una tabla metrol\u00f3gica. Se encuentra el rendimiento de la parte del campo 1 que excede al campo 2. El resto del rendimiento debe provenir del \u00e1rea restante, A, que se compone de partes iguales del campo 1 y del campo 2. Se encuentra el rendimiento de un SAR promedio ; esto se divide en el rendimiento restante, dando el \u00e1rea restante.<\/p>\n
La idea detr\u00e1s del \u00faltimo paso parece ser la "\u00fanica posici\u00f3n falsa" tambi\u00e9n conocida de otros textos babil\u00f3nicos: si el \u00e1rea restante fuera 1 QA , consistir\u00eda en \u00b9 \/ 2 SAR de cada campo, lo que permitir\u00eda encontrar el rendimiento. como (digamos) p QA . En realidad es (digamos) N ∙ p QA , y por lo tanto el \u00e1rea restante debe ser N SAR .<\/p>\n
El procedimiento da una impresi\u00f3n (confirmada por muchos otros textos) de improvisaci\u00f3n ad hoc, construida sobre el pensamiento concreto, m\u00e1s que sobre t\u00e9cnicas estandarizadas cuando vamos m\u00e1s all\u00e1 de los m\u00e9todos m\u00e1s b\u00e1sicos (conversiones, etc. ). La misma caracter\u00edstica tambi\u00e9n se encuentra en OB de segundo grado y "\u00e1lgebra" superior, quiz\u00e1s el logro m\u00e1s asombroso de la tradici\u00f3n matem\u00e1tica babil\u00f3nica. El t\u00e9rmino se pone entre comillas porque no se basa en s\u00edmbolos como es el \u00e1lgebra post-renacentista o en palabras para n\u00fameros desconocidos como son el \u00e1lgebra medieval isl\u00e1mica e italiana. En cambio, se basa en geometr\u00eda -ingenua-: donde el \u00e1lgebra moderna nos presenta un problema x 2 + x = A (que puede transformarse en x ∙ ( x+1) = A ), los babilonios considerar\u00edan un rect\u00e1ngulo geom\u00e9trico cuya longitud se sabe que excede el ancho en 1, y el \u00e1rea del cual se sabe que es A; donde transformamos la ecuaci\u00f3n para aislar x, los babilonios har\u00edan las correspondientes transformaciones de cortar y pegar del rect\u00e1ngulo. La forma en que lo hicieron ser\u00eda intuitivamente obvia y no proporcionar\u00edan ninguna prueba euclidiana de que el procedimiento fuera correcto (de ah\u00ed el t\u00e9rmino -ingenuo-).<\/p>\n
Las transformaciones b\u00e1sicas, por ejemplo, el corte de rect\u00e1ngulos, se realizaron de acuerdo con esquemas fijos. Pero los escribas OB tambi\u00e9n resolver\u00edan problemas bastante complejos; y al transformarlos en problemas simples, utilizar\u00edan una serie de trucos habituales, pero no f\u00f3rmulas est\u00e1ndar, precisamente como hac\u00edan en los problemas aritm\u00e9ticos. Cuando se usa con inteligencia (como lo es en muchos textos), el \u00e1lgebra OB es, por lo tanto, muy flexible: siempre que nos ci\u00f1amos a una o dos variables y al segundo grado, un conjunto de operaciones casi tan flexible como (y en su secuencia de operaciones muy similares a) \u00e1lgebra simb\u00f3lica moderna. S\u00f3lo en casos m\u00e1s complejos se ponen de manifiesto las desventajas de las t\u00e9cnicas de los babilonios.<\/p>\n
Se deben dar tres salvedades al enunciado de que el \u00e1lgebra OB es geom\u00e9trica. Primero, las entidades geom\u00e9tricas involucradas no eran abstractas sino \u00e1reas y segmentos de l\u00ednea medibles y concretos. En segundo lugar, la base geom\u00e9trica no impidi\u00f3 que la t\u00e9cnica se aplicara a cantidades no geom\u00e9tricas. Representamos, por ejemplo, un peso desconocido, un precio desconocido por un n\u00famero puro x; el babil\u00f3nico, sin embargo, los representar\u00eda mediante un segmento de l\u00ednea de longitud desconocida (pero num\u00e9ricamente conocida). El \u00e1lgebra geom\u00e9trica ingenua era una forma vers\u00e1til de encontrar cantidades desconocidas involucradas en relaciones complejas, verdaderamente, s\u00f3lo relaciones artificiales. (La pr\u00e1ctica de los escribas babil\u00f3nicos no presentaba problemas de segundo o m\u00e1s alto grado; estos ten\u00edan que ser y fueron construidos para permitir la exhibici\u00f3n del virtuosismo de los escribas).<\/p>\n
En tercer lugar, la declaraci\u00f3n contradice los prop\u00f3sitos de las creencias establecidas. La interpretaci\u00f3n que Neugebauer present\u00f3 en la d\u00e9cada de 1930 como una "primera aproximaci\u00f3n" fue aceptada en ese momento por su valor nominal, y desde entonces ha sido la sabidur\u00eda convencional entre los historiadores de las matem\u00e1ticas que el \u00e1lgebra babil\u00f3nica era un \u00e1lgebra de n\u00fameros tratados ret\u00f3ricamente como en el \u00e1rabe. y Edad Media Latina. Solo recientemente un an\u00e1lisis filol\u00f3gico y comparativo detallado del corpus del texto y su terminolog\u00eda ha demostrado que la interpretaci\u00f3n num\u00e9rica es, de hecho, solo una primera aproximaci\u00f3n. (Las razones de esto y los detalles de la reinterpretaci\u00f3n se presentan en H\u00f8yrup 1987).<\/p>\n
Un \u00faltimo tipo de problema importante est\u00e1 compuesto por investigaciones num\u00e9ricas. Algunos de ellos est\u00e1n relacionados con el c\u00e1lculo de rec\u00edprocos y, por tanto, con las necesidades de c\u00e1lculo com\u00fan. Otros se inspiran en la partici\u00f3n del trapecio mencionado anteriormente y dan lugar a problemas indeterminados para pares o conjuntos de n\u00fameros. El m\u00e1s famoso de todos estos textos es la tableta llamada Plimpton 322, una mesa haciendo uso de conjuntos de n\u00fameros pitag\u00f3ricos (es decir, n\u00fameros a, b, y c el cumplimiento de la condici\u00f3n de un 2 + b 2 = c 2 ).<\/p>\n
Cualquier corpus matem\u00e1tico de conocimiento est\u00e1 organizado de una manera que refleja sus prop\u00f3sitos, las formas de pensamiento involucradas y el estilo cognitivo subyacente. Tambi\u00e9n lo eran las matem\u00e1ticas babil\u00f3nicas tal como las conocemos. Una caracter\u00edstica general es su dominio por m\u00e9todos, no por problemas. En el primer nivel, utilitario, esto refleja que conocemos las matem\u00e1ticas babil\u00f3nicas a partir de textos escolares que sirvieron para entrenar a los futuros escribas en los m\u00e9todos de su profesi\u00f3n. Para ello hubo que construir problemas que permitieran el despliegue de los m\u00e9todos a aprender. En la vida pr\u00e1ctica, por otra parte, los problemas que hab\u00eda que resolver eran, por supuesto, primarios y los m\u00e9todos aplicados a tal efecto, secundarios.<\/p>\n
Sin embargo, si pasamos al nivel "puro", encontramos la misma primac\u00eda de m\u00e9todos, mientras que las matem\u00e1ticas puras griegas (y modernas) toman los problemas como punto de partida y desarrollan los conceptos y m\u00e9todos necesarios para superarlos. En este caso, la formaci\u00f3n de los practicantes no explica nada, ya que los m\u00e9todos particulares pertenecientes a este nivel no ten\u00edan aplicaci\u00f3n pr\u00e1ctica. Las matem\u00e1ticas "puras" babil\u00f3nicas, sin embargo, ten\u00edan un prop\u00f3sito diferente del objetivo cient\u00edfico de las matem\u00e1ticas griegas. Como se explic\u00f3 anteriormente, su raz\u00f3n de ser fue el despliegue de virtuosismo profesional, lo que tambi\u00e9n explica por qu\u00e9 floreci\u00f3 en la era OB y desapareci\u00f3 del horizonte arqueol\u00f3gico con la muerte de la escuela de escribas.<\/p>\n
Los m\u00e9todos matem\u00e1ticos se pueden ense\u00f1ar de dos formas. Se pueden presentar los m\u00e9todos en t\u00e9rminos abstractos, como teor\u00eda, para que eventualmente se ilustren con ejemplos, o se puede entrenar exclusivamente a trav\u00e9s de ejemplos paradigm\u00e1ticos. Hoy en d\u00eda, se supone que la primera forma se utiliza en los niveles educativos superiores; y este \u00faltimo est\u00e1 reservado para las primeras etapas de la escuela. El enfoque fue diferente en las matem\u00e1ticas babil\u00f3nicas, donde no conocemos ning\u00fan caso de teor\u00eda formulada y solo dos o tres en los que se utiliza un ejemplo paradigm\u00e1tico como base para una discusi\u00f3n m\u00e1s general del m\u00e9todo involucrado (aunque precisamente estos textos sugieren que la ense\u00f1anza oral lo har\u00eda m\u00e1s a menudo). Los \u00fanicos casos en los que las reglas se formulan en abstracto se encuentran en un par de textos de Uruk, gobernado por los griegos (Friberg fc. En RLA ).<\/p>\n
Esta caracter\u00edstica de las matem\u00e1ticas babil\u00f3nicas se puede comparar con la composici\u00f3n de los textos legales babil\u00f3nicos como el C\u00f3digo de Hammurabi. La "Ley de Hammurabi" no es un libro de leyes a semejanza del Derecho Romano. Es una colecci\u00f3n de decisiones legales tomadas por el rey, pero por supuesto solo juntas porque se supon\u00eda que las decisiones reales servir\u00edan como paradigmas para los jueces del reino. Tambi\u00e9n podemos hacer una comparaci\u00f3n con la lista de cientos de casos separados en los textos de augurios babil\u00f3nicos.<\/p>\n
Se podr\u00eda decir que el pensamiento babil\u00f3nico era m\u00e1s concreto y menos inclinado a la abstracci\u00f3n que el de la mente moderna. Estos t\u00e9rminos, sin embargo, son utilizados de manera diferente por un antrop\u00f3logo cognitivo como L\u00e9vi-Strauss (1972) en su distinci\u00f3n entre la mente "salvaje" y la mente moderna. En otros dominios, el pensamiento babil\u00f3nico puede ser concreto en un sentido levi-straussiano, con entidades concretas que act\u00faan como clasificadores e impartiendo as\u00ed algunas de sus propiedades a la clase que encarnan (como una sociedad primitiva puede suponer que los miembros de un "clan de flechas" sea m\u00e1s r\u00e1pido que los dem\u00e1s). Pero ya en la sistematizaci\u00f3n de la literatura sobre augurios hay una abstracci\u00f3n impl\u00edcita subyacente visible a pesar de su origen en el pensamiento m\u00e1gico (Larsen 1987), y la matem\u00e1tica OB est\u00e1 a\u00fan m\u00e1s alejada de la concreci\u00f3n levi-straussiana.<\/p>\n
Esto es quiz\u00e1s menos cierto para los sacerdotes escribas post-kasitas, cuyas tablillas podr\u00edan enumerar juntas conversiones metrol\u00f3gicas y los n\u00fameros sagrados de los dioses (Friberg, comunicaci\u00f3n personal sobre una tablilla in\u00e9dita). Desde los primeros tiempos, de hecho, la astucia t\u00e9cnica de los escribas hab\u00eda estado rodeada de un aura sagrada. En el siglo 22 a. C. El rey Gudea de Lagash afirm\u00f3 que hab\u00eda dise\u00f1ado el plano del templo a semejanza de la diosa escriba Nisaba, "que conoce la esencia de contar". Desde mediados del tercer milenio, los "n\u00fameros sagrados" tambi\u00e9n se asociaron con los dioses, y los n\u00fameros se usaron por escrito de acuerdo con el principio de acertijo. A principios del primer milenio (antes del desarrollo de la astronom\u00eda matem\u00e1tica), los n\u00fameros se usaban criptogr\u00e1ficamente en algunos textos de presagios astrol\u00f3gicos. En algunos otros textos, los n\u00fameros se utilizaron para "codificar" de una manera que puede explicar c\u00f3mo el rey asirio Sarg\u00f3n afirm\u00f3 que el "n\u00famero de su nombre" era 16.283. Todos estos fen\u00f3menos dif\u00edcilmente pueden considerarse ingredientes de las matem\u00e1ticas babil\u00f3nicas, pero reflejan la existencia y la importancia de las actividades matem\u00e1ticas y lo hacen con m\u00e1s fuerza en per\u00edodos en los que las matem\u00e1ticas no eran un esfuerzo aut\u00f3nomo (est\u00e1n significativamente ausentes de las fuentes de matem\u00e1ticas de la escuela de escribas OB). Como los fen\u00f3menos marginales en general, deben su existencia al n\u00facleo.<\/p>\n
Neugebauer (1935) ha publicado las principales colecciones de fuentes para OB y matem\u00e1ticas sel\u00e9ucidas. Thureau-Dangin (1938), Neugebauer y Sachs (1945) y Bruins y Rutten (1961). Las mejores rese\u00f1as de los contenidos de las matem\u00e1ticas babil\u00f3nicas son las de Vogel (1959, en alem\u00e1n) y, especialmente, Vajman (1961, en ruso, pero se est\u00e1 realizando una traducci\u00f3n al alem\u00e1n). Una introducci\u00f3n m\u00e1s popular es la de van der Waerden (1962: 37-45, 62-81). Friberg (1981) ha ofrecido una visi\u00f3n general de las diversas interpretaciones de las triples pitag\u00f3ricas de Plimpton 322. El primer estudio de las matem\u00e1ticas del tercer milenio fue publicado por Powell en 1976; Damerow y Englund (1987) presentan descubrimientos recientes de importancia; Englund (1988); Friberg y Hunger fc.). Friberg (fc. EnRLA ), quien tambi\u00e9n ha escrito una excelente bibliograf\u00eda selectiva (en Dauben 1985: 37-51).<\/p>\n
C. Descendientes sirios<\/b><\/p>\n
Los israelitas se habr\u00edan encontrado con las matem\u00e1ticas babil\u00f3nicas durante el exilio, pero solo en la fase tard\u00eda, cuando se mezclaron con la religi\u00f3n y la adivinaci\u00f3n babil\u00f3nicas. Mucho antes de eso, debieron haber sido confrontados con sus descendientes "en casa", a finales del II y principios del I milenio en Siria.<\/p>\n
Despu\u00e9s de mediados del segundo milenio, las ciudades-estado cananeas de Siria fueron dominadas pol\u00edticamente por Egipto. Sin embargo, de manera caracter\u00edstica, las reyertas cananeas y el fara\u00f3n se correspond\u00edan en acadio; Ugarit, el estado cananeo m\u00e1s prominente, desarroll\u00f3 su escritura alfab\u00e9tica sobre la base de la escritura cuneiforme; y los escribas ugar\u00edticos, al igual que sus colegas hititas y asirios, eran ense\u00f1ados de acuerdo con la tradici\u00f3n sumerio-babil\u00f3nica (v\u00e9ase Krecher 1969). Sin embargo, los \u00fanicos rastros de matem\u00e1ticas en su plan de estudios consisten en listas metrol\u00f3gicas. Podemos deducir razonablemente que s\u00f3lo se adopt\u00f3 el estrato utilitario de las matem\u00e1ticas babil\u00f3nicas, mientras que la superestructura te\u00f3rica depend\u00eda demasiado de la situaci\u00f3n sociocultural particular del OB para ser interesante en los puestos de avanzada culturales cananeos. Lo mismo habr\u00e1 sido con toda probabilidad el caso de los primeros a\u00f1os de Israel,<\/p>\n
El punto de contacto m\u00e1s cercano no habr\u00e1 sido el escriba, sino la tradici\u00f3n mal documentada de los maestros constructores o arquitectos. Se nos dice en 1 Reyes 5-7 y 2 Cr\u00f3nicas 2-3 que Salom\u00f3n llam\u00f3 a maestros fenicios para la construcci\u00f3n del templo, y parece de hecho que tambi\u00e9n siguieron los modelos cananeos ( CA 2\/2: 149). No tenemos un testimonio directo de la tradici\u00f3n geom\u00e9trica de estos maestros, pero un texto isl\u00e1mico de medici\u00f3n del siglo IX de un tal Abū Bakr muestra un asombroso grado de continuidad con el \u00e1lgebra OB, no solo en sustancia y m\u00e9todos matem\u00e1ticos, sino tambi\u00e9n en la ret\u00f3rica y estructura gramatical. Una historia contada por el matem\u00e1tico de finales del siglo X Abū’l-Wafā˒ sugiere que los portadores de la tradici\u00f3n continua eran "artesanos" (ṣunna˓ ), es decir, maestros constructores y similares (ver H\u00f8yrup 1986). Incluso hay razones para creer que el punto de partida de la tradici\u00f3n algebraica OB fue una tradici\u00f3n de artesanos preexistente, aunque la evidencia no es convincente y los artesanos pueden, en cambio, haberse inspirado en un esquema originalmente de escribas.<\/p>\n
Independientemente de su relaci\u00f3n original con la tradici\u00f3n de los escribas OB, la misma tradici\u00f3n de los artesanos parece haber permeado todo el Medio Oriente; una reflexi\u00f3n b\u00edblica es bien conocida: se afirma (1 Reyes 7: 23-24; 2 Cr\u00f3nicas 4: 2) que el -mar de fundici\u00f3n- establecido por Salom\u00f3n en el templo posee un di\u00e1metro de 10 codos y una circunferencia de 30 codos , correspondiente al " π babil\u00f3nico" mencionado anteriormente de 3.<\/p>\n
D. Matem\u00e1ticas egipcias<\/b><\/p>\n
La otra gran tradici\u00f3n matem\u00e1tica de la Edad del Bronce cuyos ecos se pueden rastrear en la Biblia y, m\u00e1s claramente, en los restos arqueol\u00f3gicos del reino dividido, es la de Egipto. Aunque la tradici\u00f3n egipcia es en muchos aspectos paralela a la tradici\u00f3n babil\u00f3nica, las dos eran obviamente independientes.<\/p>\n
Como su contraparte, las matem\u00e1ticas egipcias son un esfuerzo de escribas que tambi\u00e9n deber\u00eda etiquetarse como "computaci\u00f3n". Surgi\u00f3 en relaci\u00f3n con las necesidades administrativas en el estado temprano; G\u00e9nesis 41 proporciona una perspectiva israelita sobre esa particularidad de la vida social egipcia (en comparaci\u00f3n con la del Israel pre-salom\u00f3nico) que requer\u00eda un c\u00e1lculo extenso. La econom\u00eda egipcia era, como la de los primeros estados sumerios, un sistema redistributivo (las descripciones b\u00edblicas de la construcci\u00f3n del templo de Salom\u00f3n tambi\u00e9n contienen caracter\u00edsticas redistributivas). En consecuencia, el c\u00e1lculo de las raciones y de la provisi\u00f3n para los trabajadores es un tema central en los textos matem\u00e1ticos egipcios, al igual que el c\u00e1lculo de \u00e1reas y de los vol\u00famenes de los graneros.<\/p>\n
No es posible distinguir un nivel te\u00f3rico particular en las matem\u00e1ticas egipcias. En ese sentido, las dos tradiciones difieren. Sin embargo, esto no quiere decir que las matem\u00e1ticas egipcias fueran una colecci\u00f3n de f\u00f3rmulas, ni (como veremos m\u00e1s adelante) que todo se hizo siempre de la manera que mejor se adaptaba a las aplicaciones pr\u00e1cticas. Adem\u00e1s, existe evidencia textual de que los propios escribas ve\u00edan su astucia matem\u00e1tica como un punto alto de conocimiento, como -reglas para indagar en la naturaleza y para conocer todo lo que existe, [cada] misterio,. . . cada secreto –como Peet (1923: 33) traduce el pasaje introductorio del Papiro Matem\u00e1tico Rhind (RMP en el siguiente).<\/p>\n
Hay menos fuentes para la historia de las matem\u00e1ticas egipcias que en el caso babil\u00f3nico, y su distribuci\u00f3n cronol\u00f3gica no es menos desigual. Por lo tanto, solo es posible dar una visi\u00f3n general muy general del desarrollo hist\u00f3rico. La aplicaci\u00f3n de medidas y el desarrollo del sistema metrol\u00f3gico comenzaron a m\u00e1s tardar en el cuarto milenio saliente. Las medidas de capacidad y de \u00e1reas ocurren en textos de la 3\u00aa a la 4\u00aa Dyn. ( ca. siglo 27 a. C. ). Ya a principios de la I Dyn. (finales del IV milenio a. C. ) el sistema de medidas lineales se utiliz\u00f3 en el canon que gobierna la representaci\u00f3n pict\u00f3rica de los seres humanos (Iversen 1975: 60-66), y desde una fecha temprana tambi\u00e9n debe haber sido utilizado en el dise\u00f1o arquitect\u00f3nico.<\/p>\n
No se dispone de evidencia directa de las t\u00e9cnicas de c\u00e1lculo del tercer milenio. Sin embargo, a partir de la forma en que se expresan las mediciones y los resultados, se puede deducir que el \u00faltimo sistema de fracci\u00f3n unitaria (ver m\u00e1s abajo) a\u00fan no exist\u00eda como un sistema coherente, sino solo como una forma de expresar expansiones ad hoc de los sistemas de subdivisiones metrol\u00f3gicas. Tambi\u00e9n sabemos que a los escribas se les ense\u00f1\u00f3 a calcular como aprendices, en la pr\u00e1ctica inmediata y no en una escuela (v\u00e9ase Brunner 1957: 11-15).<\/p>\n
Todo esto iba a cambiar en el Reino Medio, a principios del 2\u00ba milenio. La educaci\u00f3n de los escribas a partir de ahora tuvo lugar en una escuela, y se conocen muchos textos que reflejan la forma en que se inculc\u00f3 la autoestima profesional en los futuros escribas. La introducci\u00f3n al RMP citada anteriormente muestra que incluso las matem\u00e1ticas sirvieron para este prop\u00f3sito, al igual que en la escuela de obstetricia.<\/p>\n
En este momento parece haber tenido lugar una reorganizaci\u00f3n del repertorio de fracciones en un sistema coherente. Se conservaron las antiguas subdivisiones metrol\u00f3gicas, pero ahora se complementaron con una notaci\u00f3n sistem\u00e1tica para fracciones num\u00e9ricas abstractas. Los elementos b\u00e1sicos del sistema eran las fracciones unitarias \u00b9 \/ 2 , \u00b9 \/ 3 , \u00b9 \/ 4 ,. . . , \u00b9 \/ n , junto con el complemento 2 \/ 3 . Cualquier fracci\u00f3n ten\u00eda que expresarse como una suma de dichas fracciones unitarias (ninguna de ellas id\u00e9ntica) en orden decreciente. El escriba egipcio ser\u00eda por lo tanto considerar 2 \/ 5 , no como un n\u00famero, pero como un problema, la soluci\u00f3n de los cuales era \u00b9 \/ 3 + \u00b9 \/ 15. Para usos pr\u00e1cticos, estas expresiones eran menos \u00fatiles que las subdivisiones metrol\u00f3gicas. Sin embargo, para fines did\u00e1cticos, eran m\u00e1s adecuados que las subdivisiones porque todo pod\u00eda expresarse con precisi\u00f3n; tambi\u00e9n podemos suponer que desempe\u00f1aron un papel similar al de OB \u00e1lgebra superior, porque la manipulaci\u00f3n de fracciones unitarias requer\u00eda el mismo tipo de virtuosismo matem\u00e1tico.<\/p>\n
Una vez que se introdujo el sistema de fracci\u00f3n unitaria en el plan de estudios de la escuela, los escribas comenzaron a utilizarlo en la vida pr\u00e1ctica. A veces, el contraste resultante entre errores groseros e inadvertidos y la precisi\u00f3n meticulosa de la notaci\u00f3n puede parecernos extra\u00f1o; sin embargo, es comprensible si vemos el uso del sistema como una especie de art pour l’art, como una expresi\u00f3n de identidad profesional y no como un dispositivo meramente utilitario.<\/p>\n
Nuestras principales fuentes para el contenido general y las t\u00e9cnicas de las matem\u00e1ticas egipcias son dos grandes papiros copiados de originales del Reino Medio, el Papiro Matem\u00e1tico de Rhind (RMP) y el Papiro Matem\u00e1tico de Mosc\u00fa (MMP). El primero es un manual bastante sistem\u00e1tico que contiene una gran cantidad de c\u00e1lculos intermedios, mientras que el segundo es bastante desordenado y aparentemente es un libro de trabajo para estudiantes. El RMP es especialmente excelente como estudio de las matem\u00e1ticas egipcias del Reino Medio. El MMP y otras fuentes proporcionan muy poco m\u00e1s all\u00e1 de la confirmaci\u00f3n y aclaraci\u00f3n de cuestiones dudosas que se encuentran en el RMP.<\/p>\n
Casi un tercio del RMP se dedica al c\u00e1lculo de 2 \/ n ( n = 3, 5,…, 101) como una suma de fracciones unitarias. Esta tabla es un prerrequisito para todos los c\u00e1lculos posteriores debido a la forma distintiva en que los egipcios realizaban la multiplicaci\u00f3n y la divisi\u00f3n: multiplicando un n\u00famero A por 29, el escriba encontrar\u00eda por duplicaciones sucesivas 2 A, 4 A, 8 A y luego 10 A , y, por otro duplicaci\u00f3n, 20 A, y finalmente a\u00f1adir A, 8 A, y 20 Apara encontrar el resultado. Es decir, todo el procedimiento se bas\u00f3 en sucesivas duplicaciones y desacoplamientos. Si A contiene fracciones con un denominador impar, las duplicaciones implicar\u00edan el uso de la tabla 2 \/ n ; Por lo tanto, si A = \u00b9 \/ 5 , 2 A = \u00b9 \/ 3 + \u00b9 \/ 15 , 4 A = 2 \/ 3 + \u00b9 \/ 10 + \u00b9 \/ 30 ,. . . Dividiendo (como en RMP, problema 33) el n\u00famero 37 por B = 1 + 2 \/ 3 + \u00b9 \/ 2 + \u00b9 \/ 7, el escriba calcular\u00eda sucesivamente 2 B, 4 B, 8 B y 16 B, viendo que 16 B llena 37 aparte de un resto que es dos veces una subunidad impl\u00edcita \u00b9 \/ 42 ; desde B es de 97 veces este mismo subunidad, el resto es el doble \u00b9 \/ 97 B , y el resultado completo de la divisi\u00f3n es 16 + 2 \/ 97 , es decir, en el sistema requerido, 16 + \u00b9 \/ 56 + \u00b9 \/ 679 + \u00b9 \/ 776 .<\/p>\n
Las multiplicaciones y divisiones simples podr\u00edan dar la impresi\u00f3n de que las matem\u00e1ticas egipcias eran puramente aditivas. Sin embargo, como se muestra en la \u00faltima parte de la divisi\u00f3n, as\u00ed como en muchas soluciones que hacen uso de "posiciones falsas" (cf. arriba) y de la manipulaci\u00f3n libre de las subunidades apropiadas, los escribas egipcios ten\u00edan una comprensi\u00f3n perfecta, aunque impl\u00edcita, de relaciones multiplicativas y proporcionalidad. De lo contrario, de hecho, no habr\u00edan podido ocuparse de sus tareas pr\u00e1cticas.<\/p>\n
Una parte sustancial del plan de gesti\u00f3n de refrigerantes se centra en los problemas que surgen mediante el uso del sistema de fracci\u00f3n unitaria, especialmente en relaci\u00f3n con los problemas de divisi\u00f3n y proporcionalidad. Algunos de estos problemas tienen que ver con n\u00fameros abstractos, otros aclaran la conexi\u00f3n con la pr\u00e1ctica diaria, por ejemplo, cuando se distribuyen panes a trabajadores y capataces (con raciones dobles para estos \u00faltimos), cuando se trata la conexi\u00f3n entre fracciones unitarias y varios sistemas metrol\u00f3gicos, o cuando se trata de la calidad de la cerveza y el tama\u00f1o de los panes.<\/p>\n
Otro inter\u00e9s dominante es el c\u00e1lculo geom\u00e9trico. Como en Mesopotamia, las medidas de \u00e1rea est\u00e1n conectadas matem\u00e1ticamente a medidas lineales, pero se conceptualizan a\u00fan m\u00e1s claramente como el producto de un ancho est\u00e1ndar fijo y una longitud variable. Como en Babilonia, el concepto de \u00e1ngulo cuantificable est\u00e1 ausente; y las \u00e1reas triangulares se encontraron como el producto de dos lados que contienen un \u00e1ngulo "pr\u00e1cticamente recto". Los trapecios y trapezoides est\u00e1n ausentes de las fuentes; pero el \u00e1rea de un c\u00edrculo se encuentra como el cuadrado de D – \u00b9 \/ 9 D ( D es el di\u00e1metro), correspondiente a pi = 256 \/ 81 = 3,16. . . – Mucho mejor que el gobierno babil\u00f3nico normal.<\/p>\n
Los vol\u00famenes prism\u00e1ticos y cil\u00edndricos se encontraron, por supuesto, sin dificultad; es m\u00e1s asombroso que el volumen de una pir\u00e1mide truncada se haya encontrado correctamente (MMP, problema 14). Se discute si una -canasta- en MMP (problema 10) est\u00e1 destinada a ser un hemisferio. Si es as\u00ed, su superficie se encuentra con precisi\u00f3n (dado el " π " mencionado anteriormente ; pero si no se hace referencia a un hemisferio, el c\u00e1lculo sugiere que los egipcios encontrar\u00edan la circunferencia circular (correctamente) como el \u00e1rea cu\u00e1druple del c\u00edrculo dividida por el di\u00e1metro y el \u00e1rea de un semicilindro como el producto del lado curvo y recto.<\/p>\n
La geometr\u00eda y los c\u00e1lculos geom\u00e9tricos tambi\u00e9n se utilizaron en la arquitectura egipcia. Los problemas de arquitectura y edificaci\u00f3n, sin embargo, no son muy notorios en los textos matem\u00e1ticos, que de hecho contienen solo dos tipos: primero, el c\u00e1lculo de la pendiente de las pir\u00e1mides, seg\u00fan el RMP, donde se trata cinco veces; y segundo, el volumen de una pir\u00e1mide truncada, que solo se conoce de MMP.<\/p>\n
Es una afirmaci\u00f3n recurrente que los egipcios conoc\u00edan el teorema de Pit\u00e1goras y lo usaban en la construcci\u00f3n arquitect\u00f3nica. Sin embargo, debe observarse que la afirmaci\u00f3n no est\u00e1 respaldada por ninguna prueba positiva. Muchos edificios, es cierto, contienen rect\u00e1ngulos cuyos lados est\u00e1n entre s\u00ed como 3 a 4, pero nada sugiere que los egipcios supieran o estuvieran interesados en la longitud de la diagonal.<\/p>\n
Relacionado con el uso de la geometr\u00eda en arquitectura est\u00e1 el uso en las artes pict\u00f3ricas de cuadr\u00edculas cuadradas y proporciones fijas vinculadas al sistema de medidas lineales. Este -sistema can\u00f3nico- es uno de los principales factores que crean el tenor \u00fanico del arte egipcio y que lo estabiliz\u00f3 durante varios milenios, hasta que una reforma metrol\u00f3gica en el siglo VII a. C. LO convirti\u00f3 en un factor de cambio.<\/p>\n
Cualquier cosa similar al \u00e1lgebra de segundo grado babil\u00f3nica estaba ausente en las matem\u00e1ticas egipcias. Lo m\u00e1s cerca que llegamos son dos tipos de problemas geom\u00e9tricos. Uno se encuentra repetidamente en el MMP: en un tri\u00e1ngulo (pr\u00e1cticamente) rect\u00e1ngulo se dan el \u00e1rea y la raz\u00f3n entre los lados que contienen el \u00e1ngulo recto; esto se resuelve mediante una consideraci\u00f3n de proporcionalidad. El otro proviene del Papiro de Berl\u00edn 6619 y se puede traducir en s\u00edmbolos modernos como x 2 + y 2 = 100, y = 3 \/ 4 ∙ x ; la soluci\u00f3n se obtiene mediante una posici\u00f3n falsa (-tomar siempre un cuadrado del lado 1; luego el otro es \u00b9 \/ 2 + \u00b9 \/ 4 -).<\/p>\n
Estos problemas son at\u00edpicos por ser de segundo grado. De hecho, todo lo dem\u00e1s relacionado con el \u00e1lgebra es de primer grado. Pero las t\u00e9cnicas empleadas son tambi\u00e9n t\u00edpicas de esos problemas de primer grado que estar\u00edamos tentados a resolver algebraicamente. La "posici\u00f3n falsa", en particular, puede considerarse como una " x del pobre" . -El punto de usar una x es, de hecho, que se puede manipular la cantidad desconocida como si fuera un n\u00famero conocido; tomar preliminarmente la inc\u00f3gnita como 1 (o cualquier otro n\u00famero conveniente) le da la misma posibilidad, siempre y cuando se ci\u00f1a a -problemas homog\u00e9neos- (es decir, problemas que pueden reducirse al tipo x 11 = A ).<\/p>\n
La descripci\u00f3n anterior no agota el contenido de las matem\u00e1ticas egipcias, pero cubre las principales caracter\u00edsticas hasta donde las conocemos y lo hace hasta la dominaci\u00f3n asiria. Entonces (modesta) cambios en la puesta en: una serie de papiros matem\u00e1tica dem\u00f3tica de la helen\u00edstica y romana muestran, en efecto, que el material de la tradici\u00f3n de los practicantes de Babilonia o de Oriente Medio se hab\u00eda difundido en Egipto durante el 1er milenio ANTES DE CRISTO (tal vez llevado por el ej\u00e9rcito persa o inspectores fiscales?). Lo m\u00e1s llamativo es la adopci\u00f3n del π babil\u00f3nico .<\/p>\n
Los textos matem\u00e1ticos egipcios son colecciones de problemas, al igual que los babil\u00f3nicos. Lo m\u00e1s cerca que llegamos a una descripci\u00f3n general de los m\u00e9todos es una frase como "siempre toma un cuadrado del lado 1" citada anteriormente. Pero incluso en Egipto se supon\u00eda que los problemas eran paradigm\u00e1ticos; como se indica en la introducci\u00f3n del plan de gesti\u00f3n de refrigerantes, se los consideraba "reglas". En los textos, por tanto, los m\u00e9todos son primarios y los problemas secundarios. En la pr\u00e1ctica profesional de los escribas, por supuesto, los problemas pr\u00e1cticos eran primordiales; y dado que no se desarroll\u00f3 un nivel claramente distinguible de c\u00e1lculo no utilitario desarrollado en Egipto, los problemas encontrados en los textos son problemas de la vida real o estructuralmente similares a los problemas encontrados en la "vida real", incluidos los problemas que surgen de los algoritmos idiosincr\u00e1sicos de multiplicaci\u00f3n y divisi\u00f3n y la unidad -sistema de fracci\u00f3n. Considerado mundialmente,<\/p>\n
Como en Babilonia, el modo de pensamiento expresado en los textos matem\u00e1ticos es concreto. Sin embargo, existe una diferencia importante. Las matem\u00e1ticas babil\u00f3nicas, como hemos visto, tend\u00edan a representar otras entidades desconocidas mediante entidades geom\u00e9tricas mensurables; los egipcios, por otro lado, tend\u00edan a representar todo por n\u00fameros puros (al menos desde el Reino Medio en adelante). Aunque la matem\u00e1tica babil\u00f3nica es mucho m\u00e1s sofisticada en contenido que su contraparte egipcia, se puede afirmar que esta \u00faltima ha ido m\u00e1s lejos en la abstracci\u00f3n matem\u00e1tica.<\/p>\n
Las matem\u00e1ticas de la antigua Babilonia, como vimos, parecen ser puramente seculares. En \u00e9pocas posteriores, la frontera entre las matem\u00e1ticas, la adivinaci\u00f3n y la religi\u00f3n parec\u00eda haberse vuelto algo borrosa. En Egipto, tambi\u00e9n, la numeraci\u00f3n y los n\u00fameros jugaron un papel religioso-m\u00edstico, como en el Libro de los Muertos, donde el rey fallecido debe contar sus dedos (Neugebauer 1969: 9). Pero a pesar de los "misterios" y "secretos" mencionados en la introducci\u00f3n al RMP, los textos matem\u00e1ticos en s\u00ed parecen carecer de connotaciones religiosas y ocultas.<\/p>\n
Esto, por supuesto, est\u00e1 en desacuerdo con las especulaciones generalizadas sobre el "misticismo piramidal". Los argumentos piramidol\u00f3gicos se basan (en el mejor de los casos) en una variedad de proporciones num\u00e9ricas supuestamente encontradas en la pir\u00e1mide de Keops y que afirman reflejar un conocimiento preciso de π y la "secci\u00f3n \u00e1urea". Sin embargo, dos defectos caracterizan estas afirmaciones (ver Robins y Shute 1985). Primero, la medici\u00f3n precisa de las dimensiones (\u00a1originales!) De la pir\u00e1mide desgastada es dif\u00edcil; y para obtener sus proporciones favoritas, los piramid\u00f3logos evitan utilizar las mejores medidas. En segundo lugar, nada en los textos matem\u00e1ticos sugiere el m\u00e1s m\u00ednimo inter\u00e9s en los n\u00fameros que se afirma que est\u00e1n incorporados en las pir\u00e1mides; as\u00ed, por ejemplo, los egipcios no usaron un n\u00famero correspondiente a π sino una aproximaci\u00f3n (es decir,8 \/ 9 ) para \u00e5 ( π \/ 4), que es bastante otra entidad aunque por supuesto al igual que matem\u00e1ticamente \u00fatil. Por otro lado, las mejores medidas de las pendientes piramidales corresponden precisamente a la forma en que se indican las pendientes piramidales en el RMP y salen principalmente como 5 palmas, 1 dedo; o 5 palmas, 2 dedos horizontalmente por codo vertical (el valor anterior es el valor favorito en el RMP).<\/p>\n
Tanto RMP como MMP existen en excelentes ediciones. RMP fue editado por Peet en 1923 con una transcripci\u00f3n jerogl\u00edfica (el original es hier\u00e1tico) y traducci\u00f3n y comentario al ingl\u00e9s y nuevamente en 1927-29 por Chace et al. con traducci\u00f3n libre y comentario (vol. 1), y reproducci\u00f3n, transcripci\u00f3n jerogl\u00edfica, transliteraci\u00f3n y traducci\u00f3n literal (vol. 2). MMP fue editado por Struve en 1930 con reproducci\u00f3n, transcripci\u00f3n jerogl\u00edfica, traducci\u00f3n al alem\u00e1n y comentarios. Robins y Shute publicaron en 1987 una nueva edici\u00f3n de RMP destinada a no especialistas interesados. Parker public\u00f3 una colecci\u00f3n de papiros matem\u00e1ticos dem\u00f3ticos (con transliteraci\u00f3n y traducci\u00f3n al ingl\u00e9s, y una discusi\u00f3n sobre la continuidad y el cambio terminol\u00f3gicos y t\u00e9cnicos desde las matem\u00e1ticas del Reino Medio) en 1972.<\/p>\n
Vogel (1958, en alem\u00e1n) y Gillings (1972) han escrito excelentes estudios de las matem\u00e1ticas egipcias. Este \u00faltimo trabajo es inspirador, pero debe usarse con cierta cautela, ya que el autor a menudo muestra c\u00f3mo podr\u00edan haber sido las fuentes imaginarias y lo hace con la letra hier\u00e1tica m\u00e1s exquisita y convincente. Ambas encuestas incluyen referencias a otros trabajos y a publicaciones de fuentes menores. Una amplia bibliograf\u00eda de trabajos sobre matem\u00e1ticas egipcias hasta 1929 compilada por Archibald se incluye en Chace et al. 1927-29. Se encontrar\u00e1 una bibliograf\u00eda selectiva reciente en Dauben (1985: 29-37).<\/p>\n
Gardiner (1911) public\u00f3 una carta sat\u00edrica de ficci\u00f3n muy utilizada en la escuela y que refleja la importancia del c\u00e1lculo matem\u00e1tico en las ocupaciones de escribas.<\/p>\n
El "sistema can\u00f3nico" de las artes pict\u00f3ricas fue descrito por Iversen (1975). La exposici\u00f3n de Badawy sobre el dise\u00f1o arquitect\u00f3nico egipcio (1965) debe utilizarse con cautela.<\/p>\n
La gama completa de matem\u00e1ticas egipcias probablemente nunca se difundi\u00f3 al \u00e1rea palestina. Sin embargo, la evidencia epigr\u00e1fica muestra que desde el momento en que los reinos israelitas comenzaron a acercarse a una econom\u00eda redistributiva y los escribas reales necesitaron herramientas computacionales, los escribas se hicieron cargo de los n\u00fameros hier\u00e1ticos egipcios (estudio de la evidencia principal en Ifrah 1986: 271). Estos, sin embargo, son m\u00e1s complejos que los n\u00fameros jerogl\u00edficos que representan en forma taquigr\u00e1fica; y dif\u00edcilmente se puede imaginar que fueron adoptados de forma aislada: deben haber sido importados junto con al menos parte de esa cultura matem\u00e1tica m\u00e1s amplia a la que serv\u00edan. Con toda probabilidad, la administraci\u00f3n en el reino dividido se habr\u00e1 efectuado as\u00ed por medio de rutinas y t\u00e9cnicas egipcias.<\/p>\n
E. Matem\u00e1ticas griegas y helen\u00edsticas y sus consecuencias<\/b><\/p>\n
La tercera tradici\u00f3n matem\u00e1tica de cierta importancia en el contexto b\u00edblico fue la de la antigua Grecia y del mundo helen\u00edstico.<\/p>\n
La Grecia cl\u00e1sica temprana fue la cuna de la "filosof\u00eda", es decir, del inter\u00e9s intelectual y cient\u00edfico radicalmente separado de la utilidad social directa. Mientras que el estrato no utilitario de las matem\u00e1ticas babil\u00f3nicas (y, en la medida en que exist\u00edan, egipcias) ten\u00eda que parecer una herramienta para la pr\u00e1ctica de los escribas con el fin de servir al mantenimiento socio-psicol\u00f3gico de la identidad de los escribas, las matem\u00e1ticas griegas ten\u00edan que parecer "puras", es decir. , libre de la utilidad social. El trabajo de escribas, de hecho, se hab\u00eda convertido en una ocupaci\u00f3n humilde en la antig\u00fcedad cl\u00e1sica y hab\u00eda dejado de ser intelectualmente productivo.<\/p>\n
El punto de partida fue aparentemente la curiosidad intelectual frente a las t\u00e9cnicas de top\u00f3grafos y contables: \u00bfpor qu\u00e9 funcionaron estas t\u00e9cnicas? Al final del camino encontramos los Elementos de Euclides ; Los c\u00e1lculos de Arqu\u00edmedes de c\u00edrculo, esfera y paraboloide; y las c\u00f3nicas de Apolonio ; junto con una serie de obras astron\u00f3micas menores disfrazadas de pura geometr\u00eda esf\u00e9rica; y el monumental Almagest de Ptolomeo. Todo esto fue bastante irrelevante para la cultura jud\u00eda y cristiana hasta la Alta Edad Media, y no hay raz\u00f3n para discutirlo m\u00e1s aqu\u00ed.<\/p>\n
M\u00e1s importantes que la historia matem\u00e1tica en su conjunto en este per\u00edodo son varias tradiciones subyacentes.<\/p>\n
Primero est\u00e1 el sistema num\u00e9rico alfab\u00e9tico. Ver N\u00daMEROS Y CONTAR. Se ha discutido mucho qui\u00e9n utiliz\u00f3 por primera vez las letras del alfabeto para los n\u00fameros, y la cuesti\u00f3n no est\u00e1 definitivamente resuelta. Los griegos lo hicieron al menos desde finales del siglo III a. C. EN adelante, pero tambi\u00e9n lo hicieron los jud\u00edos y otros pueblos sem\u00edticos. Sin embargo, no hay evidencia para el uso semita se puede fechar antes del siglo 1 AD ; y hasta entonces parec\u00eda estar en uso otro sistema. Por esta raz\u00f3n (y varias otras razones) es la suposici\u00f3n m\u00e1s razonable de que el sistema num\u00e9rico alfab\u00e9tico fue inventado por los griegos y luego asumido por otros en el mundo helen\u00edstico (ver la discusi\u00f3n en Ifrah 1986: 286-302).<\/p>\n
Originalmente, esto era solo una notaci\u00f3n inteligente para n\u00fameros, pero pronto, sin embargo, la posibilidad de leer cualquier letra alfab\u00e9tica como un n\u00famero se explot\u00f3 en gematria, la sustituci\u00f3n de la suma de los n\u00fameros constituyentes por una palabra. Un ejemplo temprano y m\u00e1s famoso se encuentra en Apocalipsis 13:18, el n\u00famero de la bestia es -el n\u00famero de un hombre; y el n\u00famero es 666 ". (Esto recuerda la afirmaci\u00f3n del rey asirio Sarg\u00f3n sobre el "n\u00famero de su nombre", pero la semejanza es probablemente accidental).<\/p>\n
De mayor importancia fue la t\u00e9cnica en la ex\u00e9gesis medieval y renacentista, es decir, en la Cabal\u00e1, donde se us\u00f3 ampliamente para la identificaci\u00f3n simb\u00f3lica de palabras con el mismo n\u00famero gematrico (ver la descripci\u00f3n de la Cabal\u00e1 jud\u00eda y cristiana en Blau 1944).<\/p>\n
Luego est\u00e1 la tradici\u00f3n pitag\u00f3rica. La hermandad pitag\u00f3rica se hab\u00eda formado a finales del siglo VI a. C. alrededor de Pit\u00e1goras, quien era ( ritmouna abundancia de autores neopitag\u00f3ricos y modernos) con toda probabilidad no es un -cient\u00edfico- o -matem\u00e1tico- sino m\u00e1s bien una figura cham\u00e1nica, como ha sostenido Burkert (1972). Sin embargo, es plausible que la numerolog\u00eda (en un nivel "popular" tradicional) fuera un ingrediente importante en su doctrina. Durante el siglo V, entonces, y simult\u00e1neamente con el desarrollo de las matem\u00e1ticas cient\u00edficas, la hermandad pitag\u00f3rica (o una rama de ella) parece haber extendido el inter\u00e9s numerol\u00f3gico, primero adoptando un inter\u00e9s te\u00f3rico de n\u00fameros existente (la -doctrina de los n\u00fameros impares y incluso -) y ampli\u00e1ndolo y luego retomando la geometr\u00eda te\u00f3rica. (Una discusi\u00f3n satisfactoria de la cronolog\u00eda relativa de los logros matem\u00e1ticos "filos\u00f3ficos" y "pitag\u00f3ricos" llevar\u00eda demasiado lejos; pero ver Knorr [1975: passim]; H\u00f8yrup [1985: 19-21].)<\/p>\n
En el siglo IV AC , el movimiento pitag\u00f3rico desaparece como escuela cient\u00edfica, aunque a lo largo de la antig\u00fcedad la doctrina aritm\u00e9tica b\u00e1sica pitag\u00f3rica sigui\u00f3 siendo importante. De hecho, es una doctrina m\u00e1s que una teor\u00eda. Los constituyentes fundamentales son el canon de los n\u00fameros figurados y la clasificaci\u00f3n de proporciones num\u00e9ricas. La doctrina se present\u00f3 a trav\u00e9s de ejemplos y sin pruebas. Los descubrimientos hechos por autores neopitag\u00f3ricos de la antig\u00fcedad tard\u00eda (si es que los hicieron) se hicieron emp\u00edricamente.<\/p>\n
Los n\u00fameros figurados son los n\u00fameros que surgen cuando los puntos se organizan en ciertos patrones regulares. Todav\u00eda conocemos los n\u00fameros cuadrados, 1 ∙ 1, 2 ∙ 2, 3 ∙ 3, etc., y los n\u00fameros primos, que solo se pueden organizar en una sola fila y en ning\u00fan otro patr\u00f3n rectangular. Una tercera especie son los n\u00fameros triangulares, 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, etc., y a\u00fan existen otras ( n\u00fameros rectangulares de la forma n ∙ ( n + 1); pentagonal n\u00fameros, 1 + 2 +… + ( n -1) + n 2 , etc.). Vea la Fig. MAT.01 .<\/p>\n
La doctrina de las proporciones se acopl\u00f3 a la teor\u00eda de la armon\u00eda musical. Una octava corresponde a una proporci\u00f3n de 2: 1 (en frecuencia, que los antiguos no conoc\u00edan, y en longitudes de cuerda en un monocordio, que s\u00ed conoc\u00edan); una quinta corresponde a la proporci\u00f3n 3: 2, una cuarta a 4: 3, etc. Todas estas son proporciones superparticulares, es decir, tienen la forma ( n + 1): n . Otras clases se definen de forma similar.<\/p>\n
La aritm\u00e9tica neopitag\u00f3rica se consider\u00f3 indispensable para la comprensi\u00f3n de la filosof\u00eda (especialmente plat\u00f3nica) y, por lo tanto, fue un proleg\u00f3meno en el curr\u00edculo filos\u00f3fico b\u00e1sico tard\u00edo antiguo. De esta manera se extendi\u00f3 a c\u00edrculos mucho m\u00e1s amplios que las matem\u00e1ticas de alto nivel. Un lugar en la cultura general que fue influenciado por la doctrina pitag\u00f3rica fue la poes\u00eda. Varios textos (por ejemplo, Bucolica y Georgica de Virgilio ) se construyen alrededor de proporciones simples (identidad y superparticulares) y n\u00fameros primos. Estas relaciones matem\u00e1ticas aparecen en el recuento de l\u00edneas, palabras y letras, especialmente las vocales.<\/p>\n
Curiosamente, esta misma t\u00e9cnica parece haber sido utilizada en el evangelio de Lucas. Como es bien sabido, el Serm\u00f3n de la Monta\u00f1a y el Padrenuestro son interpretados de manera diferente por Mateo y Lucas. Seg\u00fan el ling\u00fcista Jens Juhl Jensen (1986), quien ha comparado el texto del evangelio con los principios utilizados en la poes\u00eda -pitag\u00f3rica- de la misma \u00e9poca, la versi\u00f3n de Lucas (pero no la de Mateo) sigue los principios pitag\u00f3ricos. Es de alg\u00fan inter\u00e9s exeg\u00e9tico que parte de la diferencia entre los dos evangelistas pueda ser la diferencia necesaria entre la traducci\u00f3n a la prosa y la poes\u00eda regida por reglas estrictas.<\/p>\n
Las doctrinas neopitag\u00f3ricas tambi\u00e9n fueron importantes en la ex\u00e9gesis antigua y medieval, en particular los n\u00fameros figurados. Un personaje importante a este respecto es Fil\u00f3n de Alejandr\u00eda, y un buen ejemplo es su an\u00e1lisis de las medidas del Arca de No\u00e9 (editado por Paramelle [1984: 148-63] con un comentario numerol\u00f3gico de Sesiano [205-9]). La longitud de 300 [codos] representa el universo, porque es el n\u00famero 24 triangular, 24 es el n\u00famero de horas en un d\u00eda y el n\u00famero de letras en el alfabeto griego, 24 = 2 3 + 2 3 + 2 3 , y la tr\u00edada 1 + 1 + 1 ocurre as\u00ed doblemente en 24 y representa la igualdad (identidad de principio, medio y final). Adem\u00e1s, 300 = (1 + 3 +… + 23) + (2 + 4 +… + 24) = 144 + 156, siendo 144 12 2y as\u00ed incluir (como patrones de puntos) los primeros 12 cuadrados, mientras que 156 = 12 ∙ 13 -incluye- (en el mismo sentido) los primeros 12 n\u00fameros rectangulares. Entonces, 300 une en s\u00ed mismo igualdad y desigualdad, por lo que es similar y representa el universo. Se hacen observaciones astutas similares sobre el ancho y la altura del Arca.<\/p>\n
Ambrosio y Agust\u00edn se hicieron cargo de la numerolog\u00eda de Fil\u00f3n (quien, como maestro, hab\u00eda ense\u00f1ado aritm\u00e9tica neopitag\u00f3rica en su propia juventud). Pero los autores cristianos hasta principios del Renacimiento tambi\u00e9n har\u00edan su propia ex\u00e9gesis numerol\u00f3gica. Un ejemplo tard\u00edo y hermoso es la -prueba- matem\u00e1tica de Nicol\u00e1s de Cusa de que la trinidad no podr\u00eda haber sido cuaternidad ( De docta ignorantia 1.20, ed. Wilpert 1967, 1: 59-60): las entidades m\u00e1xima y m\u00ednima coinciden (un principio fundamental en Cusanus ‘ filosof\u00eda); en la topograf\u00eda, la reducci\u00f3n necesaria a entidades m\u00ednimas conduce a la triangulaci\u00f3n; ergo. . .<\/p>\n
Las matem\u00e1ticas cient\u00edficas griegas solo afectaron a la ex\u00e9gesis medieval en un punto. Como se mencion\u00f3 anteriormente, el " π babil\u00f3nico " se acepta en la Biblia. Esto se convirti\u00f3 en un problema para los autores jud\u00edos medievales, quienes idearon la explicaci\u00f3n de que el hilo que mide la circunferencia del mar fundido corr\u00eda alrededor de la superficie interior (as\u00ed se explica en Mi\u009anat ha-Middot 5, 3). Esta misma idea fue propuesta no hace mucho por el piramid\u00f3logo Berriman (1953: 97).<\/p>\n
Resumiendo la influencia de las matem\u00e1ticas griegas y helen\u00edsticas, podemos concluir que afect\u00f3 al texto b\u00edblico en s\u00ed solo en algunos aspectos sin importancia. Sin embargo, a medida que el juda\u00edsmo y (m\u00e1s tarde) el cristianismo se integraron en la cultura helen\u00edstica general, el neopitagorismo y la topograf\u00eda elemental de Arqu\u00edmedes se hab\u00edan convertido en una parte indiscutible (y no controvertida) del bagaje intelectual de los Padres de la Iglesia y otros comentaristas, y no ver\u00edan ning\u00fan problema. en usarlo como herramienta para sus esfuerzos exeg\u00e9ticos. Esta visi\u00f3n matem\u00e1tica tambi\u00e9n fue heredada y promulgada por sus disc\u00edpulos en la Edad Media y principios del Renacimiento.<\/p>\n
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JENS H\u00d8YRUP<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
MATEM\u00c1TICAS, \u00c1LGEBRA Y GEOMETR\u00cdA. No es posible hablar de ninguna matem\u00e1tica b\u00edblica espec\u00edfica . Ni el AT ni el NT fueron producto de culturas que llevaran una tradici\u00f3n matem\u00e1tica propia por encima del nivel normal de "matem\u00e1ticas populares". Pero ambos Testamentos fueron producto de culturas en contacto con tradiciones matem\u00e1ticas bien establecidas y sofisticadas. Uno de ellos es la tradici\u00f3n sumerio-babil\u00f3nica, conocida por una … Continuar leyendo \u00abMATEM\u00c1TICAS, \u00c1LGEBRA Y GEOMETR\u00cdA. No es posible hablar de ninguna matem\u00e1tica b\u00edblica espec\u00edfica . Ni el…\u00bb<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"","ping_status":"","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-7599","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-diccionario-moderno-de-la-biblia"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.biblia.work\/diccionario-biblia\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/7599","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.biblia.work\/diccionario-biblia\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.biblia.work\/diccionario-biblia\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.biblia.work\/diccionario-biblia\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.biblia.work\/diccionario-biblia\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=7599"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.biblia.work\/diccionario-biblia\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/7599\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.biblia.work\/diccionario-biblia\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=7599"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.biblia.work\/diccionario-biblia\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=7599"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.biblia.work\/diccionario-biblia\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=7599"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}