MATEMÁTICAS, ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA. No es posible hablar de ninguna matemática bíblica específica . Ni el…

MATEMÁTICAS, ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA. No es posible hablar de ninguna matemática bíblica específica . Ni el AT ni el NT fueron producto de culturas que llevaran una tradición matemática propia por encima del nivel normal de "matemáticas populares". Pero ambos Testamentos fueron producto de culturas en contacto con tradiciones matemáticas bien establecidas y sofisticadas.

Uno de ellos es la tradición sumerio-babilónica, conocida por una gran cantidad de tablillas cuneiformes. Aunque probablemente menos vigorosa que en el 2d milenio temprano AC , esta tradición todavía estaba vivo durante el exilio de Babilonia. Además, aparentemente se reflejó en la educación de los escribas y en las formas de los practicantes en toda el área de Siria durante el segundo y gran parte del primer milenio a. C.

Otra tradición matemática de cierta importancia para el AT es la del antiguo Egipto. Ya a mediados de 2d milenio ANTES DE CRISTO Siria fue política y comercialmente conectado a Egipto; la historia de José en Génesis muestra una visión israelita sobre precisamente las características de la economía egipcia que moldearon las matemáticas egipcias; y en los siglos de la monarquía dividida, los israelitas adoptaron la escritura numérica hierática egipcia.

El NT fue escrito en el mundo helenístico y en griego. A pesar de esto, el alto nivel "teórico" de las matemáticas griegas no ha dejado rastros en el texto del NT. Sin embargo, varias corrientes cuasi filosóficas que dependen de las matemáticas teóricas griegas se reflejan tanto en el texto del NT como en los comentarios exegéticos antiguos y medievales.

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A. El sustrato "folk"

B. Matemáticas babilónicas

C. Descendientes sirios

D. Matemáticas egipcias

E. Matemáticas griegas y helenísticas y sus consecuencias

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A. El sustrato "folk"

Mucho antes de que el conocimiento matemático se tomara prestado de las tradiciones matemáticas vecinas de alto nivel, los primeros hebreos eran básicamente competentes en numeración y metrología. Esto se deriva principalmente de argumentos indirectos: la evidencia sugiere que su nivel cultural y contexto eran tales que necesitaban conceptos matemáticos (especialmente en las relaciones comerciales con otros), al igual que todas las poblaciones del Cercano Oriente en los milenios 2 y 1 a. C. Los argumentos lingüísticos apoyan la conclusión y infórmenos al mismo tiempo de los límites probables de las habilidades de contar de la "gente": heb mē˒ot, "cien", es una palabra semítica común. Heb lĕ˒ōm, "el pueblo", por otro lado, corresponde a Akk lim, "mil", mientras que Heb ˒elep, "mil", corresponde al etíope "diez mil". Los ancestros comunes de los diferentes grupos semitas se han contado por lo tanto en los cientos antes de separarse, no más tarde del cuarto milenio ANTES DE CRISTO ; pero no pueden haber contado rutinariamente en miles. Cuando eso se hizo necesario, las diferentes ramas tomaron prestados términos de forma independiente entre sí.

Un rastro de actitudes "primitivas" hacia los números y el conteo se puede encontrar en 2 Samuel 24 (y 1 Crónicas 21), donde David cuenta a su pueblo y es castigado por su temeridad. Este miedo (o tabú) de contar las pertenencias está de hecho generalizado entre poblaciones que no están familiarizadas con los estados y la administración centralizada o están alejados de ellos.

Tanto por la gran cantidad de personas involucradas como porque no hay rastros aparentes de tal alejamiento de los caminos de la civilización, los muchos otros censos encontrados en el Antiguo Testamento no pueden conectarse a este sustrato etnomatemático. La aparición de la metrología babilónica prestada (el šeqel ), utilizada en las proximidades de los censos importantes en el libro de Números, también habla a favor de un posible préstamo de los hábitos y técnicas de las civilizaciones más antiguas vecinas.

B. Matemáticas babilónicas

La matemática babilónica fue, en su origen, una descendencia de la civilización temprana, entendida etimológicamente como formación incipiente del estado. Básicamente, era una actividad de escribas, realizada por escribas y practicantes similares y utilizada con fines prácticos, y dado que casi todas las aplicaciones prácticas de las matemáticas antes de la era clásica consistían en el cálculo de algo, la etiqueta poco ortodoxa de "cálculo babilónico" encajaría mejor con el esfuerzo. que el nombre "matemáticas" (que, no obstante, se utilizará a continuación).

Esto no significa que las matemáticas babilónicas consistieran en nada más que un conjunto de fórmulas de los practicantes. En primer lugar, como se argumentará a continuación, las calculadoras babilónicas sabían lo que estaban haciendo y por qué lo hacían. En segundo lugar, como muchos entornos profesionales que hacían un uso intensivo de las matemáticas, la cultura de escribas babilónica produjo un nivel de problemas teóricos (es decir, prácticamente no relevantes en la práctica) particularmente complejos con las técnicas auxiliares, especialmente en el campo del álgebra.

Tradicionalmente, solo las matemáticas de los períodos babilónico antiguo y seléucida se han investigado y discutido en la literatura. Sin embargo, desde mediados de la década de 1970 en adelante, se han descubierto varios textos que esbozan el desarrollo de las matemáticas babilónicas desde los comienzos proto-sumerios alrededor del 3000 a. C. hasta los períodos babilónico tardío y seléucida. Algunos de estos textos y las conclusiones extraídas han sido publicados; pero otros (a partir de febrero de 1989) solo se han presentado en los Talleres sobre Desarrollo de Conceptos en Matemáticas (Berlín Occidental, 1983, 1984, 1985, 1988), especialmente por Jöran Friberg, Peter Damerow, Robert Englund y Marvin Powell, Jr.

Ya mucho antes de finales del IV milenio, en la región del Cercano y Medio Oriente se había utilizado un sistema de registro o contabilidad aritmética basado en pequeñas fichas de arcilla (Schmandt-Besserat 1977). En el período Uruk IV (finales del IV milenio, el período de formación del Estado que también fue testigo del desarrollo de la escritura), este sistema parece haber inspirado tanto el desarrollo de la escritura como el de las notaciones numéricas y metrológicas. En lo que respecta a las matemáticas, se inició una tendencia hacia la armonización de los distintos sistemas. Así que la unidad de área SAR (aparentemente significa una parcela de jardín, el área a ser regada de un solo pozo y, en cualquier caso, una "unidad natural") llegó a entenderse como el cuadrado de la unidad de longitud básica (el NINDAN , ≈ 6 metro) y, en general, todo el sistema de medidas de área se adaptó al sistema lineal (véase Powell 1972). Además, se desarrollaron metrologías de subunidades, hasta donde se puede juzgar, más allá del rango del sistema tradicional. Todo el sistema estaba interconectado de una manera que pronto permitió cálculos coherentes que vinculaban extensiones aritméticamente lineales, áreas, tiempo y otras cantidades que pertenecían juntas en la práctica técnica o social (parte de los antecedentes de estas declaraciones solo se ha presentado en talleres y es como aún inédito, pero véanse, por ejemplo, algunos ejemplos presentados por Friberg [1984] y la descripción general implícita en Damerow y Englund 1987).

Sin duda, las matemáticas proto-sumerias fueron creadas con el propósito de la administración práctica en lo que la antropología económica llama una -economía redistributiva-; la sustitución de unidades naturales pero no conectadas por un complejo de metrologías conectadas matemáticamente que corresponden a las necesidades del funcionario de planificación y contabilidad más que a las del productor inmediato. Pero la complejidad del sistema parece ir más allá incluso de las necesidades burocráticas. Aunque es difícil distinguir posibles tablillas escolares de textos indudablemente administrativos (sólo estos últimos contienen nombres de funcionarios), es por tanto una suposición justa que la raíz inmediata de la reorganización de un conjunto de técnicas aritméticas como matemáticas coherentes fue la enseñanza en la escuela del templo (esto se discute más de cerca en Høyrup 1980: 14-17).

La administración temprana parece no haber distinguido la burocracia de otras funciones sacerdotales, y nada en la sustancia matemática distingue los posibles ejercicios escolares de otros textos de cálculo. Sólo alrededor de la mediados 3d milenio es el término para escriba ( DUB-SAR) encontrado en las fuentes; En este momento también nos encontramos con el uso no burocrático de las herramientas profesionales de los escribas: textos literarios y ejercicios matemáticos más allá del contexto de la administración diaria, este último tratando, por ejemplo, con la división de números extremadamente grandes por divisores irregulares como 7 y 33 ( un tema que domina el pequeño grupo de ejercicios matemáticos de mediados del tercer milenio de Šuruppak y Ebla; véanse Friberg [1986: 16-22]; Høyrup [1982]). Aunque tales problemas no habrán tenido un papel significativo en la administración práctica, evidentemente fueron una preocupación central para una profesión de escribano que probaba sus propias habilidades intelectuales.

La tendencia hacia una creciente regularización continuó a lo largo del tercer milenio y se materializó en Ur III (siglo XXI AC ) (véase Powell 1976). A principios del período Ur III se implementó una reforma administrativa que hizo un uso extensivo de una contabilidad sistemática y extremadamente meticulosa. Parece probable que fue para su uso en este contexto que se creó el sistema de valor posicional sexagesimal. Ver NÚMEROS Y CONTAR. No se han encontrado ejercicios escolares de matemáticas que apunten más allá del dominio administrativo y, a partir de paralelismos en otros dominios culturales, parece ser una suposición razonable que el estado centralizado había agotado las fuentes para la autonomía de los escribas y, por lo tanto, para un mayor desarrollo de las matemáticas no utilitarias.

Las matemáticas no utilitarias fueron, por otro lado, fundamentales para las matemáticas OB , que están bien documentadas en las fuentes (1900 a 1600 a. C. , principalmente la segunda parte de este período de tiempo). En este período, que se caracterizó por una economía altamente individualizada (en comparación con otras culturas de la Edad del Bronce) y por una ideología que enfatizaba al individuo como persona privada, la escuela de escribas desarrolló un plan de estudios que enfatizaba el virtuosismo más allá de lo prácticamente necesario; los triunfos de las matemáticas "puras" babilónicas, no menos el "álgebra", parecen ser un producto precisamente de esta escuela de escribas OB y ​​cultura de escribas (ver Høyrup 1985: 10-16).

Hasta Ur III, todos los textos matemáticos habían estado en sumerio; incluso en Ebla de habla semítica, las matemáticas sumerias se asumieron en el idioma original. Las antiguas matemáticas babilónicas, por el contrario, fueron escritas en acadio, evidencia suplementaria de que representan un nuevo género y una ruptura con la tradición Ur III (plausiblemente más puramente utilitaria). Es cierto que bastantes textos están escritos predominantemente por medio de logogramas sumerios; pero el análisis gramatical muestra que todos, excepto un puñado de estos signos de palabras, son simplemente representaciones elípticas de palabras y oraciones acadias.

Muchas tablas matemáticas desde el período OB en adelante son compilaciones que contienen una variedad de problemas diferentes. A menudo, los problemas utilitarios y teóricos se encuentran juntos; pero los asuntos matemáticos y no matemáticos generalmente no se tratan en los mismos textos. Obviamente, las matemáticas OB no se dividieron en disciplinas completamente distintas; por otro lado, las matemáticas en su conjunto eran una preocupación autónoma, tal vez incluso (en forma de ingeniería, agrimensura y contabilidad, o como especialidad docente) una vocación distinta.

En 1600 AC, la conquista kasita puso fin al orden social OB, a la antigua escuela de escribas, a la ideología característica del escribano OB, y al mismo tiempo a la forma característica de las matemáticas OB. La formación de escribas fue a partir de ahora proporcionada por -familias- de escribas como aprendizaje; y así, hasta cierto punto, la matemática llegó a mezclarse con otras asignaturas en las mismas tablillas, habiendo perdido su autonomía disciplinaria. El "matemático" a partir de ahora se identificaría a sí mismo en los colofones de las tablas, por ejemplo, como "exorcista" ( Akk āšipu ) o "sacerdote" ( Akk šangû ).

En los primeros siglos después de la conquista kasita, los textos matemáticos son prácticamente inexistentes, aunque recientemente se han descubierto algunas tablillas matemáticas de Babilonia tardía (una de ellas aparecerá en Friberg y Hunger, fc. ). En la era seléucida, el desarrollo de la astronomía computacional (comenzando ya bajo los aqueménidas) dio lugar a un renacimiento de la computación numérica y, como secuela, de algunos de los viejos problemas teóricos.

Como ya se dijo, las matemáticas babilónicas realmente significan "computación". En los cálculos intermedios utilizó el sistema de valor posicional sexagesimal. Ver NÚMEROS Y CONTAR. El uso de este sistema y la conversión de valores metrológicos en -números puros- (y al revés, después de que se encontró un resultado) presuponía un uso extensivo de tablas matemáticas, metrológicas y técnicas. El primer grupo comprende tablas de multiplicación y de recíprocos (la división m / n se realizó como una multiplicación m ∙ ¹ / n ), tablas de cuadrados y raíces cuadradas y de cubos y raíces cúbicas, tablas de la raíz n de n 3 + n 2, e incluso bastantes tablas de potencias sucesivas de un número. El segundo grupo contiene conversiones tabuladas de valores metrológicos en múltiplos sexagesimales de la unidad básica y tablas técnicas que contienen "factores fijos" para ser utilizados en el cálculo técnico (la relación entre el diámetro al cuadrado y el área de un círculo; la cantidad de ladrillos a ser transportado por un trabajador a una distancia determinada en un día).

Los contenidos básicos de la matemática utilitaria babilónica corresponden a las siguientes tablas: tablas de multiplicar, tablas de recíprocos, tablas metrológicas (que eran ayudas para el cálculo) y tablas técnicas que constituían el nexo entre el cálculo matemático y la realidad administrativa y de ingeniería. Las matemáticas se enseñaban en la escuela porque los escribas debían poder calcular las áreas de los campos, el volumen de los canales que se excavarían y de las rampas de asedio que se construirían y, no menos importante, la mano de obra necesaria para estas tareas. Todos estos cálculos se hicieron casi como se harían hoy, con una excepción importante: los babilonios no tenían el concepto de ángulo cuantificable y, por lo tanto, nada similar a la trigonometría. En la medición práctica, dividirían campos complicados en triángulos "prácticamente rectos", Trapecios -prácticamente correctos- y cuadrángulos -prácticamente rectangulares- (distinguiendo, podríamos decir, un ángulo -correcto- de uno -incorrecto-). Luego calcularían como lo hacemos nosotros, sabiendo que sus resultados no eran la verdad absoluta, pero aparentemente sin tener una idea definida sobre la naturaleza y el tamaño de los errores. Es de suponer que no verían una diferencia decisiva entre la imprecisión de los cálculos de mano de obra y los de las determinaciones de superficie.

Con estas calificaciones, los babilonios conocían el área de un triángulo rectángulo (en la medición práctica dividirían un triángulo obviamente no recto en dos; en los ejercicios escolares podrían usar el semiproducto de los dos "mejores" lados). En un texto babilónico tardío también encontramos el cálculo de una altura (mediante el teorema de Pitágoras, conocido ya en el período OB). De manera similar, encontrarían correctamente el área de un rectángulo y de un trapecio "recto". El área de un cuadrilátero irregular se puede encontrar mediante la "fórmula de los topógrafos", como la longitud promedio multiplicada por el ancho promedio. En la medición práctica, esta técnica probablemente solo se haya utilizado para cuadrángulos bastante regulares, donde da resultados aceptables. En los textos escolares, la técnica también se utiliza como pretexto para formular problemas algebraicos en los casos en que es extremadamente poco realista. El área del círculo normalmente se encontró como ¹ /12 veces el cuadrado de la circunferencia (correspondiente a π = 3) y la circunferencia tres veces el diámetro. (Sin embargo, se ha supuesto que una tabla de constantes contiene un factor de corrección correspondiente a π = 3¹ / 8 ).

Los volúmenes prismáticos y cilíndricos se calcularon como base por "altura" (es decir, un lado aproximadamente perpendicular a la base). El volumen de un cono truncado se encontró como el de un cilindro con el diámetro promedio (que es correcto para un cilindro, y solo tres cuartas partes del valor verdadero en el caso extremo donde el cono no está truncado), y el de un pirámide truncada en un texto como altura multiplicada por la base promedio (en otro texto quizás correctamente). En caso de duda, una vez más, los babilonios optarían por un compromiso (bastante arbitrario) en lugar de rendirse ante las dificultades teóricas.

Los volúmenes prismáticos y cilíndricos probablemente se derivaron de una consideración -ingenua- de proporcionalidad. La unidad básica de área era el SAR , y la unidad básica del volumen 1 SAR POR 1 codo, también llamada SAR (para distinguir, los historiadores modernos hablan de un -volumen sar-). Un prisma con base A [ SAR ] y altura 1 [codo] tendría entonces un volumen de A [volumen SAR ]; si fuera h codos, por lo tanto h veces más alto, el volumen tendría que ser A ∙ h. Aparentemente, se utilizó un argumento de proporcionalidad correspondiente cuando se encontró la altura de una pendiente en casos similares. Ciertas consideraciones terminológicas sugieren que incluso el área de figuras rectangulares se pensó originalmente de esta manera.

Un tipo de problema geométrico específicamente babilónico es la partición de áreas. Inicialmente, esto puede haber sido un problema práctico. Sin embargo, a más tardar en el siglo XXIII AC , surge como un problema teórico: ¿cuál es la longitud de la transversal si un trapecio está bisecado por una transversal paralela? En el período OB son habituales problemas aún más complejos de tipo similar, así como otros problemas de división más o menos complejos y más o menos artificiales.

Muchos cálculos prácticos, por supuesto, no se referían a entidades geométricas, sino a cantidades de grano a cobrar como cuotas, al intercambio comercial y a preocupaciones pragmáticas similares. Las técnicas utilizadas se pueden ilustrar parafraseando un problema ilustrativo: se dan dos campos, 1 y 2, de uno de los cuales se COBRAN 4 GUR (1 GUR = 300 QA , 1 QA ≈ 1 litro) de grano por BUR ( = 1800 SAR ), mientras que el otro arroja una renta de 3 GUR por FRESA . Se da el rendimiento total y la diferencia entre las dos áreas. Primero todo se convierte en múltiplos sexagesimales de las unidades fundamentales SARy QA , en parte mediante cálculo, en parte mediante una tabla metrológica. Se encuentra el rendimiento de la parte del campo 1 que excede al campo 2. El resto del rendimiento debe provenir del área restante, A, que se compone de partes iguales del campo 1 y del campo 2. Se encuentra el rendimiento de un SAR promedio ; esto se divide en el rendimiento restante, dando el área restante.

La idea detrás del último paso parece ser la "única posición falsa" también conocida de otros textos babilónicos: si el área restante fuera 1 QA , consistiría en ¹ / 2 SAR de cada campo, lo que permitiría encontrar el rendimiento. como (digamos) p QA . En realidad es (digamos) N ∙ p QA , y por lo tanto el área restante debe ser N SAR .

El procedimiento da una impresión (confirmada por muchos otros textos) de improvisación ad hoc, construida sobre el pensamiento concreto, más que sobre técnicas estandarizadas cuando vamos más allá de los métodos más básicos (conversiones, etc. ). La misma característica también se encuentra en OB de segundo grado y "álgebra" superior, quizás el logro más asombroso de la tradición matemática babilónica. El término se pone entre comillas porque no se basa en símbolos como es el álgebra post-renacentista o en palabras para números desconocidos como son el álgebra medieval islámica e italiana. En cambio, se basa en geometría -ingenua-: donde el álgebra moderna nos presenta un problema x 2 + x = A (que puede transformarse en x ∙ ( x+1) = A ), los babilonios considerarían un rectángulo geométrico cuya longitud se sabe que excede el ancho en 1, y el área del cual se sabe que es A; donde transformamos la ecuación para aislar x, los babilonios harían las correspondientes transformaciones de cortar y pegar del rectángulo. La forma en que lo hicieron sería intuitivamente obvia y no proporcionarían ninguna prueba euclidiana de que el procedimiento fuera correcto (de ahí el término -ingenuo-).

Las transformaciones básicas, por ejemplo, el corte de rectángulos, se realizaron de acuerdo con esquemas fijos. Pero los escribas OB también resolverían problemas bastante complejos; y al transformarlos en problemas simples, utilizarían una serie de trucos habituales, pero no fórmulas estándar, precisamente como hacían en los problemas aritméticos. Cuando se usa con inteligencia (como lo es en muchos textos), el álgebra OB es, por lo tanto, muy flexible: siempre que nos ciñamos a una o dos variables y al segundo grado, un conjunto de operaciones casi tan flexible como (y en su secuencia de operaciones muy similares a) álgebra simbólica moderna. Sólo en casos más complejos se ponen de manifiesto las desventajas de las técnicas de los babilonios.

Se deben dar tres salvedades al enunciado de que el álgebra OB es geométrica. Primero, las entidades geométricas involucradas no eran abstractas sino áreas y segmentos de línea medibles y concretos. En segundo lugar, la base geométrica no impidió que la técnica se aplicara a cantidades no geométricas. Representamos, por ejemplo, un peso desconocido, un precio desconocido por un número puro x; el babilónico, sin embargo, los representaría mediante un segmento de línea de longitud desconocida (pero numéricamente conocida). El álgebra geométrica ingenua era una forma versátil de encontrar cantidades desconocidas involucradas en relaciones complejas, verdaderamente, sólo relaciones artificiales. (La práctica de los escribas babilónicos no presentaba problemas de segundo o más alto grado; estos tenían que ser y fueron construidos para permitir la exhibición del virtuosismo de los escribas).

En tercer lugar, la declaración contradice los propósitos de las creencias establecidas. La interpretación que Neugebauer presentó en la década de 1930 como una "primera aproximación" fue aceptada en ese momento por su valor nominal, y desde entonces ha sido la sabiduría convencional entre los historiadores de las matemáticas que el álgebra babilónica era un álgebra de números tratados retóricamente como en el árabe. y Edad Media Latina. Solo recientemente un análisis filológico y comparativo detallado del corpus del texto y su terminología ha demostrado que la interpretación numérica es, de hecho, solo una primera aproximación. (Las razones de esto y los detalles de la reinterpretación se presentan en Høyrup 1987).

Un último tipo de problema importante está compuesto por investigaciones numéricas. Algunos de ellos están relacionados con el cálculo de recíprocos y, por tanto, con las necesidades de cálculo común. Otros se inspiran en la partición del trapecio mencionado anteriormente y dan lugar a problemas indeterminados para pares o conjuntos de números. El más famoso de todos estos textos es la tableta llamada Plimpton 322, una mesa haciendo uso de conjuntos de números pitagóricos (es decir, números a, b, y c el cumplimiento de la condición de un 2 + b 2 = c 2 ).

Cualquier corpus matemático de conocimiento está organizado de una manera que refleja sus propósitos, las formas de pensamiento involucradas y el estilo cognitivo subyacente. También lo eran las matemáticas babilónicas tal como las conocemos. Una característica general es su dominio por métodos, no por problemas. En el primer nivel, utilitario, esto refleja que conocemos las matemáticas babilónicas a partir de textos escolares que sirvieron para entrenar a los futuros escribas en los métodos de su profesión. Para ello hubo que construir problemas que permitieran el despliegue de los métodos a aprender. En la vida práctica, por otra parte, los problemas que había que resolver eran, por supuesto, primarios y los métodos aplicados a tal efecto, secundarios.

Sin embargo, si pasamos al nivel "puro", encontramos la misma primacía de métodos, mientras que las matemáticas puras griegas (y modernas) toman los problemas como punto de partida y desarrollan los conceptos y métodos necesarios para superarlos. En este caso, la formación de los practicantes no explica nada, ya que los métodos particulares pertenecientes a este nivel no tenían aplicación práctica. Las matemáticas "puras" babilónicas, sin embargo, tenían un propósito diferente del objetivo científico de las matemáticas griegas. Como se explicó anteriormente, su razón de ser fue el despliegue de virtuosismo profesional, lo que también explica por qué floreció en la era OB y ​​desapareció del horizonte arqueológico con la muerte de la escuela de escribas.

Los métodos matemáticos se pueden enseñar de dos formas. Se pueden presentar los métodos en términos abstractos, como teoría, para que eventualmente se ilustren con ejemplos, o se puede entrenar exclusivamente a través de ejemplos paradigmáticos. Hoy en día, se supone que la primera forma se utiliza en los niveles educativos superiores; y este último está reservado para las primeras etapas de la escuela. El enfoque fue diferente en las matemáticas babilónicas, donde no conocemos ningún caso de teoría formulada y solo dos o tres en los que se utiliza un ejemplo paradigmático como base para una discusión más general del método involucrado (aunque precisamente estos textos sugieren que la enseñanza oral lo haría más a menudo). Los únicos casos en los que las reglas se formulan en abstracto se encuentran en un par de textos de Uruk, gobernado por los griegos (Friberg fc. En RLA ).

Esta característica de las matemáticas babilónicas se puede comparar con la composición de los textos legales babilónicos como el Código de Hammurabi. La "Ley de Hammurabi" no es un libro de leyes a semejanza del Derecho Romano. Es una colección de decisiones legales tomadas por el rey, pero por supuesto solo juntas porque se suponía que las decisiones reales servirían como paradigmas para los jueces del reino. También podemos hacer una comparación con la lista de cientos de casos separados en los textos de augurios babilónicos.

Se podría decir que el pensamiento babilónico era más concreto y menos inclinado a la abstracción que el de la mente moderna. Estos términos, sin embargo, son utilizados de manera diferente por un antropólogo cognitivo como Lévi-Strauss (1972) en su distinción entre la mente "salvaje" y la mente moderna. En otros dominios, el pensamiento babilónico puede ser concreto en un sentido levi-straussiano, con entidades concretas que actúan como clasificadores e impartiendo así algunas de sus propiedades a la clase que encarnan (como una sociedad primitiva puede suponer que los miembros de un "clan de flechas" sea ​​más rápido que los demás). Pero ya en la sistematización de la literatura sobre augurios hay una abstracción implícita subyacente visible a pesar de su origen en el pensamiento mágico (Larsen 1987), y la matemática OB está aún más alejada de la concreción levi-straussiana.

Esto es quizás menos cierto para los sacerdotes escribas post-kasitas, cuyas tablillas podrían enumerar juntas conversiones metrológicas y los números sagrados de los dioses (Friberg, comunicación personal sobre una tablilla inédita). Desde los primeros tiempos, de hecho, la astucia técnica de los escribas había estado rodeada de un aura sagrada. En el siglo 22 a. C. El rey Gudea de Lagash afirmó que había diseñado el plano del templo a semejanza de la diosa escriba Nisaba, "que conoce la esencia de contar". Desde mediados del tercer milenio, los "números sagrados" también se asociaron con los dioses, y los números se usaron por escrito de acuerdo con el principio de acertijo. A principios del primer milenio (antes del desarrollo de la astronomía matemática), los números se usaban criptográficamente en algunos textos de presagios astrológicos. En algunos otros textos, los números se utilizaron para "codificar" de una manera que puede explicar cómo el rey asirio Sargón afirmó que el "número de su nombre" era 16.283. Todos estos fenómenos difícilmente pueden considerarse ingredientes de las matemáticas babilónicas, pero reflejan la existencia y la importancia de las actividades matemáticas y lo hacen con más fuerza en períodos en los que las matemáticas no eran un esfuerzo autónomo (están significativamente ausentes de las fuentes de matemáticas de la escuela de escribas OB). Como los fenómenos marginales en general, deben su existencia al núcleo.

Neugebauer (1935) ha publicado las principales colecciones de fuentes para OB y ​​matemáticas seléucidas. Thureau-Dangin (1938), Neugebauer y Sachs (1945) y Bruins y Rutten (1961). Las mejores reseñas de los contenidos de las matemáticas babilónicas son las de Vogel (1959, en alemán) y, especialmente, Vajman (1961, en ruso, pero se está realizando una traducción al alemán). Una introducción más popular es la de van der Waerden (1962: 37-45, 62-81). Friberg (1981) ha ofrecido una visión general de las diversas interpretaciones de las triples pitagóricas de Plimpton 322. El primer estudio de las matemáticas del tercer milenio fue publicado por Powell en 1976; Damerow y Englund (1987) presentan descubrimientos recientes de importancia; Englund (1988); Friberg y Hunger fc.). Friberg (fc. EnRLA ), quien también ha escrito una excelente bibliografía selectiva (en Dauben 1985: 37-51).

C. Descendientes sirios

Los israelitas se habrían encontrado con las matemáticas babilónicas durante el exilio, pero solo en la fase tardía, cuando se mezclaron con la religión y la adivinación babilónicas. Mucho antes de eso, debieron haber sido confrontados con sus descendientes "en casa", a finales del II y principios del I milenio en Siria.

Después de mediados del segundo milenio, las ciudades-estado cananeas de Siria fueron dominadas políticamente por Egipto. Sin embargo, de manera característica, las reyertas cananeas y el faraón se correspondían en acadio; Ugarit, el estado cananeo más prominente, desarrolló su escritura alfabética sobre la base de la escritura cuneiforme; y los escribas ugaríticos, al igual que sus colegas hititas y asirios, eran enseñados de acuerdo con la tradición sumerio-babilónica (véase Krecher 1969). Sin embargo, los únicos rastros de matemáticas en su plan de estudios consisten en listas metrológicas. Podemos deducir razonablemente que sólo se adoptó el estrato utilitario de las matemáticas babilónicas, mientras que la superestructura teórica dependía demasiado de la situación sociocultural particular del OB para ser interesante en los puestos de avanzada culturales cananeos. Lo mismo habrá sido con toda probabilidad el caso de los primeros años de Israel,

El punto de contacto más cercano no habrá sido el escriba, sino la tradición mal documentada de los maestros constructores o arquitectos. Se nos dice en 1 Reyes 5-7 y 2 Crónicas 2-3 que Salomón llamó a maestros fenicios para la construcción del templo, y parece de hecho que también siguieron los modelos cananeos ( CA 2/2: 149). No tenemos un testimonio directo de la tradición geométrica de estos maestros, pero un texto islámico de medición del siglo IX de un tal Abū Bakr muestra un asombroso grado de continuidad con el álgebra OB, no solo en sustancia y métodos matemáticos, sino también en la retórica y estructura gramatical. Una historia contada por el matemático de finales del siglo X Abū’l-Wafā˒ sugiere que los portadores de la tradición continua eran "artesanos" (ṣunna˓ ), es decir, maestros constructores y similares (ver Høyrup 1986). Incluso hay razones para creer que el punto de partida de la tradición algebraica OB fue una tradición de artesanos preexistente, aunque la evidencia no es convincente y los artesanos pueden, en cambio, haberse inspirado en un esquema originalmente de escribas.

Independientemente de su relación original con la tradición de los escribas OB, la misma tradición de los artesanos parece haber permeado todo el Medio Oriente; una reflexión bíblica es bien conocida: se afirma (1 Reyes 7: 23-24; 2 Crónicas 4: 2) que el -mar de fundición- establecido por Salomón en el templo posee un diámetro de 10 codos y una circunferencia de 30 codos , correspondiente al " π babilónico" mencionado anteriormente de 3.

D. Matemáticas egipcias

La otra gran tradición matemática de la Edad del Bronce cuyos ecos se pueden rastrear en la Biblia y, más claramente, en los restos arqueológicos del reino dividido, es la de Egipto. Aunque la tradición egipcia es en muchos aspectos paralela a la tradición babilónica, las dos eran obviamente independientes.

Como su contraparte, las matemáticas egipcias son un esfuerzo de escribas que también debería etiquetarse como "computación". Surgió en relación con las necesidades administrativas en el estado temprano; Génesis 41 proporciona una perspectiva israelita sobre esa particularidad de la vida social egipcia (en comparación con la del Israel pre-salomónico) que requería un cálculo extenso. La economía egipcia era, como la de los primeros estados sumerios, un sistema redistributivo (las descripciones bíblicas de la construcción del templo de Salomón también contienen características redistributivas). En consecuencia, el cálculo de las raciones y de la provisión para los trabajadores es un tema central en los textos matemáticos egipcios, al igual que el cálculo de áreas y de los volúmenes de los graneros.

No es posible distinguir un nivel teórico particular en las matemáticas egipcias. En ese sentido, las dos tradiciones difieren. Sin embargo, esto no quiere decir que las matemáticas egipcias fueran una colección de fórmulas, ni (como veremos más adelante) que todo se hizo siempre de la manera que mejor se adaptaba a las aplicaciones prácticas. Además, existe evidencia textual de que los propios escribas veían su astucia matemática como un punto alto de conocimiento, como -reglas para indagar en la naturaleza y para conocer todo lo que existe, [cada] misterio,. . . cada secreto –como Peet (1923: 33) traduce el pasaje introductorio del Papiro Matemático Rhind (RMP en el siguiente).

Hay menos fuentes para la historia de las matemáticas egipcias que en el caso babilónico, y su distribución cronológica no es menos desigual. Por lo tanto, solo es posible dar una visión general muy general del desarrollo histórico. La aplicación de medidas y el desarrollo del sistema metrológico comenzaron a más tardar en el cuarto milenio saliente. Las medidas de capacidad y de áreas ocurren en textos de la 3ª a la 4ª Dyn. ( ca. siglo 27 a. C. ). Ya a principios de la I Dyn. (finales del IV milenio a. C. ) el sistema de medidas lineales se utilizó en el canon que gobierna la representación pictórica de los seres humanos (Iversen 1975: 60-66), y desde una fecha temprana también debe haber sido utilizado en el diseño arquitectónico.

No se dispone de evidencia directa de las técnicas de cálculo del tercer milenio. Sin embargo, a partir de la forma en que se expresan las mediciones y los resultados, se puede deducir que el último sistema de fracción unitaria (ver más abajo) aún no existía como un sistema coherente, sino solo como una forma de expresar expansiones ad hoc de los sistemas de subdivisiones metrológicas. También sabemos que a los escribas se les enseñó a calcular como aprendices, en la práctica inmediata y no en una escuela (véase Brunner 1957: 11-15).

Todo esto iba a cambiar en el Reino Medio, a principios del 2º milenio. La educación de los escribas a partir de ahora tuvo lugar en una escuela, y se conocen muchos textos que reflejan la forma en que se inculcó la autoestima profesional en los futuros escribas. La introducción al RMP citada anteriormente muestra que incluso las matemáticas sirvieron para este propósito, al igual que en la escuela de obstetricia.

En este momento parece haber tenido lugar una reorganización del repertorio de fracciones en un sistema coherente. Se conservaron las antiguas subdivisiones metrológicas, pero ahora se complementaron con una notación sistemática para fracciones numéricas abstractas. Los elementos básicos del sistema eran las fracciones unitarias ¹ / 2 , ¹ / 3 , ¹ / 4 ,. . . , ¹ / n , junto con el complemento 2 / 3 . Cualquier fracción tenía que expresarse como una suma de dichas fracciones unitarias (ninguna de ellas idéntica) en orden decreciente. El escriba egipcio sería por lo tanto considerar 2 / 5 , no como un número, pero como un problema, la solución de los cuales era ¹ / 3 + ¹ / 15. Para usos prácticos, estas expresiones eran menos útiles que las subdivisiones metrológicas. Sin embargo, para fines didácticos, eran más adecuados que las subdivisiones porque todo podía expresarse con precisión; también podemos suponer que desempeñaron un papel similar al de OB álgebra superior, porque la manipulación de fracciones unitarias requería el mismo tipo de virtuosismo matemático.

Una vez que se introdujo el sistema de fracción unitaria en el plan de estudios de la escuela, los escribas comenzaron a utilizarlo en la vida práctica. A veces, el contraste resultante entre errores groseros e inadvertidos y la precisión meticulosa de la notación puede parecernos extraño; sin embargo, es comprensible si vemos el uso del sistema como una especie de art pour l’art, como una expresión de identidad profesional y no como un dispositivo meramente utilitario.

Nuestras principales fuentes para el contenido general y las técnicas de las matemáticas egipcias son dos grandes papiros copiados de originales del Reino Medio, el Papiro Matemático de Rhind (RMP) y el Papiro Matemático de Moscú (MMP). El primero es un manual bastante sistemático que contiene una gran cantidad de cálculos intermedios, mientras que el segundo es bastante desordenado y aparentemente es un libro de trabajo para estudiantes. El RMP es especialmente excelente como estudio de las matemáticas egipcias del Reino Medio. El MMP y otras fuentes proporcionan muy poco más allá de la confirmación y aclaración de cuestiones dudosas que se encuentran en el RMP.

Casi un tercio del RMP se dedica al cálculo de 2 / n ( n = 3, 5,…, 101) como una suma de fracciones unitarias. Esta tabla es un prerrequisito para todos los cálculos posteriores debido a la forma distintiva en que los egipcios realizaban la multiplicación y la división: multiplicando un número A por 29, el escriba encontraría por duplicaciones sucesivas 2 A, 4 A, 8 A y luego 10 A , y, por otro duplicación, 20 A, y finalmente añadir A, 8 A, y 20 Apara encontrar el resultado. Es decir, todo el procedimiento se basó en sucesivas duplicaciones y desacoplamientos. Si A contiene fracciones con un denominador impar, las duplicaciones implicarían el uso de la tabla 2 / n ; Por lo tanto, si A = ¹ / 5 , 2 A = ¹ / 3 + ¹ / 15 , 4 A = 2 / 3 + ¹ / 10 + ¹ / 30 ,. . . Dividiendo (como en RMP, problema 33) el número 37 por B = 1 + 2 / 3 + ¹ / 2 + ¹ / 7, el escriba calcularía sucesivamente 2 B, 4 B, 8 B y 16 B, viendo que 16 B llena 37 aparte de un resto que es dos veces una subunidad implícita ¹ / 42 ; desde B es de 97 veces este mismo subunidad, el resto es el doble ¹ / 97 B , y el resultado completo de la división es 16 + 2 / 97 , es decir, en el sistema requerido, 16 + ¹ / 56 + ¹ / 679 + ¹ / 776 .

Las multiplicaciones y divisiones simples podrían dar la impresión de que las matemáticas egipcias eran puramente aditivas. Sin embargo, como se muestra en la última parte de la división, así como en muchas soluciones que hacen uso de "posiciones falsas" (cf. arriba) y de la manipulación libre de las subunidades apropiadas, los escribas egipcios tenían una comprensión perfecta, aunque implícita, de relaciones multiplicativas y proporcionalidad. De lo contrario, de hecho, no habrían podido ocuparse de sus tareas prácticas.

Una parte sustancial del plan de gestión de refrigerantes se centra en los problemas que surgen mediante el uso del sistema de fracción unitaria, especialmente en relación con los problemas de división y proporcionalidad. Algunos de estos problemas tienen que ver con números abstractos, otros aclaran la conexión con la práctica diaria, por ejemplo, cuando se distribuyen panes a trabajadores y capataces (con raciones dobles para estos últimos), cuando se trata la conexión entre fracciones unitarias y varios sistemas metrológicos, o cuando se trata de la calidad de la cerveza y el tamaño de los panes.

Otro interés dominante es el cálculo geométrico. Como en Mesopotamia, las medidas de área están conectadas matemáticamente a medidas lineales, pero se conceptualizan aún más claramente como el producto de un ancho estándar fijo y una longitud variable. Como en Babilonia, el concepto de ángulo cuantificable está ausente; y las áreas triangulares se encontraron como el producto de dos lados que contienen un ángulo "prácticamente recto". Los trapecios y trapezoides están ausentes de las fuentes; pero el área de un círculo se encuentra como el cuadrado de D – ¹ / 9 D ( D es el diámetro), correspondiente a pi = 256 / 81 = 3,16. . . – Mucho mejor que el gobierno babilónico normal.

Los volúmenes prismáticos y cilíndricos se encontraron, por supuesto, sin dificultad; es más asombroso que el volumen de una pirámide truncada se haya encontrado correctamente (MMP, problema 14). Se discute si una -canasta- en MMP (problema 10) está destinada a ser un hemisferio. Si es así, su superficie se encuentra con precisión (dado el " π " mencionado anteriormente ; pero si no se hace referencia a un hemisferio, el cálculo sugiere que los egipcios encontrarían la circunferencia circular (correctamente) como el área cuádruple del círculo dividida por el diámetro y el área de un semicilindro como el producto del lado curvo y recto.

La geometría y los cálculos geométricos también se utilizaron en la arquitectura egipcia. Los problemas de arquitectura y edificación, sin embargo, no son muy notorios en los textos matemáticos, que de hecho contienen solo dos tipos: primero, el cálculo de la pendiente de las pirámides, según el RMP, donde se trata cinco veces; y segundo, el volumen de una pirámide truncada, que solo se conoce de MMP.

Es una afirmación recurrente que los egipcios conocían el teorema de Pitágoras y lo usaban en la construcción arquitectónica. Sin embargo, debe observarse que la afirmación no está respaldada por ninguna prueba positiva. Muchos edificios, es cierto, contienen rectángulos cuyos lados están entre sí como 3 a 4, pero nada sugiere que los egipcios supieran o estuvieran interesados ​​en la longitud de la diagonal.

Relacionado con el uso de la geometría en arquitectura está el uso en las artes pictóricas de cuadrículas cuadradas y proporciones fijas vinculadas al sistema de medidas lineales. Este -sistema canónico- es uno de los principales factores que crean el tenor único del arte egipcio y que lo estabilizó durante varios milenios, hasta que una reforma metrológica en el siglo VII a. C. LO convirtió en un factor de cambio.

Cualquier cosa similar al álgebra de segundo grado babilónica estaba ausente en las matemáticas egipcias. Lo más cerca que llegamos son dos tipos de problemas geométricos. Uno se encuentra repetidamente en el MMP: en un triángulo (prácticamente) rectángulo se dan el área y la razón entre los lados que contienen el ángulo recto; esto se resuelve mediante una consideración de proporcionalidad. El otro proviene del Papiro de Berlín 6619 y se puede traducir en símbolos modernos como x 2 + y 2 = 100, y = 3 / 4 ∙ x ; la solución se obtiene mediante una posición falsa (-tomar siempre un cuadrado del lado 1; luego el otro es ¹ / 2 + ¹ / 4 -).

Estos problemas son atípicos por ser de segundo grado. De hecho, todo lo demás relacionado con el álgebra es de primer grado. Pero las técnicas empleadas son también típicas de esos problemas de primer grado que estaríamos tentados a resolver algebraicamente. La "posición falsa", en particular, puede considerarse como una " x del pobre" . -El punto de usar una x es, de hecho, que se puede manipular la cantidad desconocida como si fuera un número conocido; tomar preliminarmente la incógnita como 1 (o cualquier otro número conveniente) le da la misma posibilidad, siempre y cuando se ciña a -problemas homogéneos- (es decir, problemas que pueden reducirse al tipo x 11 = A ).

La descripción anterior no agota el contenido de las matemáticas egipcias, pero cubre las principales características hasta donde las conocemos y lo hace hasta la dominación asiria. Entonces (modesta) cambios en la puesta en: una serie de papiros matemática demótica de la helenística y romana muestran, en efecto, que el material de la tradición de los practicantes de Babilonia o de Oriente Medio se había difundido en Egipto durante el 1er milenio ANTES DE CRISTO (tal vez llevado por el ejército persa o inspectores fiscales?). Lo más llamativo es la adopción del π babilónico .

Los textos matemáticos egipcios son colecciones de problemas, al igual que los babilónicos. Lo más cerca que llegamos a una descripción general de los métodos es una frase como "siempre toma un cuadrado del lado 1" citada anteriormente. Pero incluso en Egipto se suponía que los problemas eran paradigmáticos; como se indica en la introducción del plan de gestión de refrigerantes, se los consideraba "reglas". En los textos, por tanto, los métodos son primarios y los problemas secundarios. En la práctica profesional de los escribas, por supuesto, los problemas prácticos eran primordiales; y dado que no se desarrolló un nivel claramente distinguible de cálculo no utilitario desarrollado en Egipto, los problemas encontrados en los textos son problemas de la vida real o estructuralmente similares a los problemas encontrados en la "vida real", incluidos los problemas que surgen de los algoritmos idiosincrásicos de multiplicación y división y la unidad -sistema de fracción. Considerado mundialmente,

Como en Babilonia, el modo de pensamiento expresado en los textos matemáticos es concreto. Sin embargo, existe una diferencia importante. Las matemáticas babilónicas, como hemos visto, tendían a representar otras entidades desconocidas mediante entidades geométricas mensurables; los egipcios, por otro lado, tendían a representar todo por números puros (al menos desde el Reino Medio en adelante). Aunque la matemática babilónica es mucho más sofisticada en contenido que su contraparte egipcia, se puede afirmar que esta última ha ido más lejos en la abstracción matemática.

Las matemáticas de la antigua Babilonia, como vimos, parecen ser puramente seculares. En épocas posteriores, la frontera entre las matemáticas, la adivinación y la religión parecía haberse vuelto algo borrosa. En Egipto, también, la numeración y los números jugaron un papel religioso-místico, como en el Libro de los Muertos, donde el rey fallecido debe contar sus dedos (Neugebauer 1969: 9). Pero a pesar de los "misterios" y "secretos" mencionados en la introducción al RMP, los textos matemáticos en sí parecen carecer de connotaciones religiosas y ocultas.

Esto, por supuesto, está en desacuerdo con las especulaciones generalizadas sobre el "misticismo piramidal". Los argumentos piramidológicos se basan (en el mejor de los casos) en una variedad de proporciones numéricas supuestamente encontradas en la pirámide de Keops y que afirman reflejar un conocimiento preciso de π y la "sección áurea". Sin embargo, dos defectos caracterizan estas afirmaciones (ver Robins y Shute 1985). Primero, la medición precisa de las dimensiones (¡originales!) De la pirámide desgastada es difícil; y para obtener sus proporciones favoritas, los piramidólogos evitan utilizar las mejores medidas. En segundo lugar, nada en los textos matemáticos sugiere el más mínimo interés en los números que se afirma que están incorporados en las pirámides; así, por ejemplo, los egipcios no usaron un número correspondiente a π sino una aproximación (es decir,8 / 9 ) para å ( π / 4), que es bastante otra entidad aunque por supuesto al igual que matemáticamente útil. Por otro lado, las mejores medidas de las pendientes piramidales corresponden precisamente a la forma en que se indican las pendientes piramidales en el RMP y salen principalmente como 5 palmas, 1 dedo; o 5 palmas, 2 dedos horizontalmente por codo vertical (el valor anterior es el valor favorito en el RMP).

Tanto RMP como MMP existen en excelentes ediciones. RMP fue editado por Peet en 1923 con una transcripción jeroglífica (el original es hierático) y traducción y comentario al inglés y nuevamente en 1927-29 por Chace et al. con traducción libre y comentario (vol. 1), y reproducción, transcripción jeroglífica, transliteración y traducción literal (vol. 2). MMP fue editado por Struve en 1930 con reproducción, transcripción jeroglífica, traducción al alemán y comentarios. Robins y Shute publicaron en 1987 una nueva edición de RMP destinada a no especialistas interesados. Parker publicó una colección de papiros matemáticos demóticos (con transliteración y traducción al inglés, y una discusión sobre la continuidad y el cambio terminológicos y técnicos desde las matemáticas del Reino Medio) en 1972.

Vogel (1958, en alemán) y Gillings (1972) han escrito excelentes estudios de las matemáticas egipcias. Este último trabajo es inspirador, pero debe usarse con cierta cautela, ya que el autor a menudo muestra cómo podrían haber sido las fuentes imaginarias y lo hace con la letra hierática más exquisita y convincente. Ambas encuestas incluyen referencias a otros trabajos y a publicaciones de fuentes menores. Una amplia bibliografía de trabajos sobre matemáticas egipcias hasta 1929 compilada por Archibald se incluye en Chace et al. 1927-29. Se encontrará una bibliografía selectiva reciente en Dauben (1985: 29-37).

Gardiner (1911) publicó una carta satírica de ficción muy utilizada en la escuela y que refleja la importancia del cálculo matemático en las ocupaciones de escribas.

El "sistema canónico" de las artes pictóricas fue descrito por Iversen (1975). La exposición de Badawy sobre el diseño arquitectónico egipcio (1965) debe utilizarse con cautela.

La gama completa de matemáticas egipcias probablemente nunca se difundió al área palestina. Sin embargo, la evidencia epigráfica muestra que desde el momento en que los reinos israelitas comenzaron a acercarse a una economía redistributiva y los escribas reales necesitaron herramientas computacionales, los escribas se hicieron cargo de los números hieráticos egipcios (estudio de la evidencia principal en Ifrah 1986: 271). Estos, sin embargo, son más complejos que los números jeroglíficos que representan en forma taquigráfica; y difícilmente se puede imaginar que fueron adoptados de forma aislada: deben haber sido importados junto con al menos parte de esa cultura matemática más amplia a la que servían. Con toda probabilidad, la administración en el reino dividido se habrá efectuado así por medio de rutinas y técnicas egipcias.

E. Matemáticas griegas y helenísticas y sus consecuencias

La tercera tradición matemática de cierta importancia en el contexto bíblico fue la de la antigua Grecia y del mundo helenístico.

La Grecia clásica temprana fue la cuna de la "filosofía", es decir, del interés intelectual y científico radicalmente separado de la utilidad social directa. Mientras que el estrato no utilitario de las matemáticas babilónicas (y, en la medida en que existían, egipcias) tenía que parecer una herramienta para la práctica de los escribas con el fin de servir al mantenimiento socio-psicológico de la identidad de los escribas, las matemáticas griegas tenían que parecer "puras", es decir. , libre de la utilidad social. El trabajo de escribas, de hecho, se había convertido en una ocupación humilde en la antigüedad clásica y había dejado de ser intelectualmente productivo.

El punto de partida fue aparentemente la curiosidad intelectual frente a las técnicas de topógrafos y contables: ¿por qué funcionaron estas técnicas? Al final del camino encontramos los Elementos de Euclides ; Los cálculos de Arquímedes de círculo, esfera y paraboloide; y las cónicas de Apolonio ; junto con una serie de obras astronómicas menores disfrazadas de pura geometría esférica; y el monumental Almagest de Ptolomeo. Todo esto fue bastante irrelevante para la cultura judía y cristiana hasta la Alta Edad Media, y no hay razón para discutirlo más aquí.

Más importantes que la historia matemática en su conjunto en este período son varias tradiciones subyacentes.

Primero está el sistema numérico alfabético. Ver NÚMEROS Y CONTAR. Se ha discutido mucho quién utilizó por primera vez las letras del alfabeto para los números, y la cuestión no está definitivamente resuelta. Los griegos lo hicieron al menos desde finales del siglo III a. C. EN adelante, pero también lo hicieron los judíos y otros pueblos semíticos. Sin embargo, no hay evidencia para el uso semita se puede fechar antes del siglo 1 AD ; y hasta entonces parecía estar en uso otro sistema. Por esta razón (y varias otras razones) es la suposición más razonable de que el sistema numérico alfabético fue inventado por los griegos y luego asumido por otros en el mundo helenístico (ver la discusión en Ifrah 1986: 286-302).

Originalmente, esto era solo una notación inteligente para números, pero pronto, sin embargo, la posibilidad de leer cualquier letra alfabética como un número se explotó en gematria, la sustitución de la suma de los números constituyentes por una palabra. Un ejemplo temprano y más famoso se encuentra en Apocalipsis 13:18, el número de la bestia es -el número de un hombre; y el número es 666 ". (Esto recuerda la afirmación del rey asirio Sargón sobre el "número de su nombre", pero la semejanza es probablemente accidental).

De mayor importancia fue la técnica en la exégesis medieval y renacentista, es decir, en la Cabalá, donde se usó ampliamente para la identificación simbólica de palabras con el mismo número gematrico (ver la descripción de la Cabalá judía y cristiana en Blau 1944).

Luego está la tradición pitagórica. La hermandad pitagórica se había formado a finales del siglo VI a. C. alrededor de Pitágoras, quien era ( ritmouna abundancia de autores neopitagóricos y modernos) con toda probabilidad no es un -científico- o -matemático- sino más bien una figura chamánica, como ha sostenido Burkert (1972). Sin embargo, es plausible que la numerología (en un nivel "popular" tradicional) fuera un ingrediente importante en su doctrina. Durante el siglo V, entonces, y simultáneamente con el desarrollo de las matemáticas científicas, la hermandad pitagórica (o una rama de ella) parece haber extendido el interés numerológico, primero adoptando un interés teórico de números existente (la -doctrina de los números impares y incluso -) y ampliándolo y luego retomando la geometría teórica. (Una discusión satisfactoria de la cronología relativa de los logros matemáticos "filosóficos" y "pitagóricos" llevaría demasiado lejos; pero ver Knorr [1975: passim]; Høyrup [1985: 19-21].)

En el siglo IV AC , el movimiento pitagórico desaparece como escuela científica, aunque a lo largo de la antigüedad la doctrina aritmética básica pitagórica siguió siendo importante. De hecho, es una doctrina más que una teoría. Los constituyentes fundamentales son el canon de los números figurados y la clasificación de proporciones numéricas. La doctrina se presentó a través de ejemplos y sin pruebas. Los descubrimientos hechos por autores neopitagóricos de la antigüedad tardía (si es que los hicieron) se hicieron empíricamente.

Los números figurados son los números que surgen cuando los puntos se organizan en ciertos patrones regulares. Todavía conocemos los números cuadrados, 1 ∙ 1, 2 ∙ 2, 3 ∙ 3, etc., y los números primos, que solo se pueden organizar en una sola fila y en ningún otro patrón rectangular. Una tercera especie son los números triangulares, 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, etc., y aún existen otras ( números rectangulares de la forma n ∙ ( n + 1); pentagonal números, 1 + 2 +… + ( n -1) + n 2 , etc.). Vea la Fig. MAT.01 .

La doctrina de las proporciones se acopló a la teoría de la armonía musical. Una octava corresponde a una proporción de 2: 1 (en frecuencia, que los antiguos no conocían, y en longitudes de cuerda en un monocordio, que sí conocían); una quinta corresponde a la proporción 3: 2, una cuarta a 4: 3, etc. Todas estas son proporciones superparticulares, es decir, tienen la forma ( n + 1): n . Otras clases se definen de forma similar.

La aritmética neopitagórica se consideró indispensable para la comprensión de la filosofía (especialmente platónica) y, por lo tanto, fue un prolegómeno en el currículo filosófico básico tardío antiguo. De esta manera se extendió a círculos mucho más amplios que las matemáticas de alto nivel. Un lugar en la cultura general que fue influenciado por la doctrina pitagórica fue la poesía. Varios textos (por ejemplo, Bucolica y Georgica de Virgilio ) se construyen alrededor de proporciones simples (identidad y superparticulares) y números primos. Estas relaciones matemáticas aparecen en el recuento de líneas, palabras y letras, especialmente las vocales.

Curiosamente, esta misma técnica parece haber sido utilizada en el evangelio de Lucas. Como es bien sabido, el Sermón de la Montaña y el Padrenuestro son interpretados de manera diferente por Mateo y Lucas. Según el lingüista Jens Juhl Jensen (1986), quien ha comparado el texto del evangelio con los principios utilizados en la poesía -pitagórica- de la misma época, la versión de Lucas (pero no la de Mateo) sigue los principios pitagóricos. Es de algún interés exegético que parte de la diferencia entre los dos evangelistas pueda ser la diferencia necesaria entre la traducción a la prosa y la poesía regida por reglas estrictas.

Las doctrinas neopitagóricas también fueron importantes en la exégesis antigua y medieval, en particular los números figurados. Un personaje importante a este respecto es Filón de Alejandría, y un buen ejemplo es su análisis de las medidas del Arca de Noé (editado por Paramelle [1984: 148-63] con un comentario numerológico de Sesiano [205-9]). La longitud de 300 [codos] representa el universo, porque es el número 24 triangular, 24 es el número de horas en un día y el número de letras en el alfabeto griego, 24 = 2 3 + 2 3 + 2 3 , y la tríada 1 + 1 + 1 ocurre así doblemente en 24 y representa la igualdad (identidad de principio, medio y final). Además, 300 = (1 + 3 +… + 23) + (2 + 4 +… + 24) = 144 + 156, siendo 144 12 2y así incluir (como patrones de puntos) los primeros 12 cuadrados, mientras que 156 = 12 ∙ 13 -incluye- (en el mismo sentido) los primeros 12 números rectangulares. Entonces, 300 une en sí mismo igualdad y desigualdad, por lo que es similar y representa el universo. Se hacen observaciones astutas similares sobre el ancho y la altura del Arca.

Ambrosio y Agustín se hicieron cargo de la numerología de Filón (quien, como maestro, había enseñado aritmética neopitagórica en su propia juventud). Pero los autores cristianos hasta principios del Renacimiento también harían su propia exégesis numerológica. Un ejemplo tardío y hermoso es la -prueba- matemática de Nicolás de Cusa de que la trinidad no podría haber sido cuaternidad ( De docta ignorantia 1.20, ed. Wilpert 1967, 1: 59-60): las entidades máxima y mínima coinciden (un principio fundamental en Cusanus ‘ filosofía); en la topografía, la reducción necesaria a entidades mínimas conduce a la triangulación; ergo. . .

Las matemáticas científicas griegas solo afectaron a la exégesis medieval en un punto. Como se mencionó anteriormente, el " π babilónico " se acepta en la Biblia. Esto se convirtió en un problema para los autores judíos medievales, quienes idearon la explicación de que el hilo que mide la circunferencia del mar fundido corría alrededor de la superficie interior (así se explica en Mišnat ha-Middot 5, 3). Esta misma idea fue propuesta no hace mucho por el piramidólogo Berriman (1953: 97).

Resumiendo la influencia de las matemáticas griegas y helenísticas, podemos concluir que afectó al texto bíblico en sí solo en algunos aspectos sin importancia. Sin embargo, a medida que el judaísmo y (más tarde) el cristianismo se integraron en la cultura helenística general, el neopitagorismo y la topografía elemental de Arquímedes se habían convertido en una parte indiscutible (y no controvertida) del bagaje intelectual de los Padres de la Iglesia y otros comentaristas, y no verían ningún problema. en usarlo como herramienta para sus esfuerzos exegéticos. Esta visión matemática también fue heredada y promulgada por sus discípulos en la Edad Media y principios del Renacimiento.

Bibliografía

Badawy, A. 1965. Diseño arquitectónico egipcio antiguo: un estudio del sistema armónico. UCPNES 4. Berkeley.

Berriman, AE 1953. Metrología histórica. Londres.

Blau, JL 1944. La interpretación cristiana de la Cábala en el Renacimiento. Doctor. dis. , Universidad de Colombia.

Bruins, EM y Rutten, M. 1961. Textes mathématiques de Suse. Mémoires de la Mission Archéologique en Iran 34. París.

Brunner, H. 1957. Altägyptische Erziehung. Wiesbaden.

Burkert, W. 1972. Lore y ciencia en el pitagorismo antiguo. Cambridge, MA.

Chace, AB y col. 1927-29. El papiro matemático de Rhind. Museo Británico 10057 y 10058. 2 Vols. Oberlin, OH.

Damerow, P. y Englund, RK 1987. Die Zahlzeichenssysteme der Archaischen Texte aus Uruk . Vol. 2, págs. 117-66 en Zeichenliste der Archaischen Texte aus Uruk, ed. MW Green y HJ Nissen. ATU 2. Berlín.

Dauben, JW 1985. La historia de las matemáticas desde la antigüedad hasta el presente. Una bibliografía selectiva. Bibliografías de Historia de la Ciencia y la Tecnología 6. Nueva York.

Englund, RK 1988. Cronometraje administrativo en la antigua Mesopotamia. JESÓ 31: 121-85.

Friberg, J. 1981. Métodos y tradiciones de las matemáticas babilónicas: Plimpton 322, triples pitagóricos y ecuaciones de parámetros del triángulo babilónico. Historia Mathematica 8: 277-318.

—. 1984. Números y medidas en los primeros registros escritos. Scientific American (edición europea) 250/2 (febrero de 1984): 78-85.

—. 1986. Las primeras raíces de las matemáticas babilónicas. III: Tres textos notables de la antigua Ebla. Vicino Oriente 6: 3-25.

Friberg, J. y Hunger H. fc. Semilla y cañas: un texto de tema metro-matemático de LB Uruk.

Gardiner, A 1911. Textos hieráticos egipcios. Serie I: Textos literarios del Nuevo Reino. Parte I: El Papiro Anastasi I y el Papiro Koller, junto con Textos Paralelos. Leipzig.

Gillings. RJ 1972. Matemáticas en la época de los faraones. Cambridge, MA.

Høyrup, J. 1980. Influencias de la enseñanza de las matemáticas institucionalizada en el desarrollo y organización del pensamiento matemático en el período premoderno. Investigaciones sobre un aspecto de la antropología de las matemáticas. Materialien und Studien: Institut für Didaktik der Mathematik der Universität Bielefeld 20: 7-137.

—. 1982. Investigaciones de un problema de división sumerio temprano, c. 2500 aC Historia Mathematica 9: 19-36.

—. 1985. Álgebra babilónica desde el punto de vista de la heurística geométrica. Una investigación de terminología, métodos y patrones de pensamiento. Roskilde, Dinamarca.

—. 1986. Al-Khwârizmî, Ibn Turk y el Liber Mensurationum: Sobre los orígenes del álgebra islámica. Erdem 2: 445-84.

—. 1987. Álgebra y geometría ingenua. Una investigación de algunos aspectos básicos del pensamiento matemático de la antigua Babilonia. Filosofi og Videnskabsteori på Roskilde Universitetscenter. 3. Række: Preprints og Reprints 1987 Nr. 2. En AoF 1990.

Ifrah, G. 1986. Universalgeschichte der Zahlen. Trans. A. von Platen. Fráncfort del Meno.

Iversen, E. 1975. Canon y proporción en el arte egipcio. 2d rev. ed. Warminster.

Jensen, JJ 1986. I begyndelsen var tallet: Pythagoræisk poesi gennem to åartusinder. Copenhague.

Knorr, WR 1975. La evolución de los elementos euclidianos. Biblioteca histórica de Synthese 15. Dordrecht.

Krecher, J. 1969. Schreiberschulung en Ugarit. Die Tradition von Listen und sumerischen Texten. UF 1: 131-58.

Larsen, MT 1987. La mente tibia mesopotámica: Reflexiones sobre ciencia, adivinación y alfabetización. Páginas. 203-25 en Lengua, literatura e historia: estudios filológicos e históricos presentados a Erica Reiner, ed. F. Rochberg-Halton. AOS 67. New Haven.

Lévi-Strauss, C. 1972. The Savage Mind. Londres.

Neugebauer, O. 1935. Mathematische Keilschrift-texte. 1-3. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik 3 / 1-3. Berlina. Re pr. 1973.

—. 1969. Las ciencias exactas en la antigüedad. Nueva York.

Neugebauer, O. y Sachs, A. 1945. Textos matemáticos cuneiformes. AOS 29. New Haven.

Paramelle, J. 1984. Philon d’Alexandrie, Questions sur la Genèse II 1-7. Cahiers d’Orientalisme 3. Ginebra.

Parker, RA 1972. Papiros matemáticos demóticos. Providencia.

Peet, TE 1923. The Rhind Mathematical Papyrus, British Museum 10057 y 10058. Londres.

Powell, MA, Jr. 1972. Medidas del área sumeria y el supuesto sustrato decimal. ZA 62: 165-221.

—. 1976. Los antecedentes de la notación de lugar babilónica antigua y la historia temprana de las matemáticas babilónicas. Historia Mathematica 3: 417-39.

Robins, G. y Shute, Ch. CD 1985. Bases matemáticas de la arquitectura y el arte gráfico del Antiguo Egipto. Historia Mathematica 12: 107-22.

—. 1987. El papiro matemático de Rhind: un texto egipcio antiguo. Londres.

Schmandt-Besserat, D. 1977. Un sistema de grabación arcaico y el origen de la escritura. SMS 1/2. Malibú, CA.

Struve, WW 1930. Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste in Moskau. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik 1. Berlín.

Thureau-Dangin, F. 1938. Textes mathématiques babyloniens. Ex Oriente Lux 1. Leiden.

Vajman, AA 1961. Sumero-vavilonskaja matematika. III – I Tysjačeletija do ne Moscú.

Vogel, K. 1958. Vorgriechische Mathematik. Vol. 1, Vorgeschichte und Ăgypten. Mathematische Studienhefte 1. Hannover.

—. 1959. Vorgriechische Mathematik. Vol. 2, Die Mathematik der Babylonier. Mathematische Studienhefte 2. Hannover.

Waerden, BL van der. 1962. Science Awakening. 2d Ed. Groningen.

Wilpert, P. 1967. Nikolaus von Kues, Werke. (Neuausgabe des Straßburger Drucks von 1488). I – II. Quellen und Studien zur Geschichte der Philosophie 5-6. Berlina.

      JENS HØYRUP