NÚMEROS Y CONTANDOLos números se mencionan a menudo en la…

NÚMEROS Y CONTANDOLos números se mencionan a menudo en la Biblia, donde siempre se expresan en términos de palabras numéricas. Sin embargo, las inscripciones en objetos arqueológicos como pesas, ostraca y monumentos demuestran que el uso de símbolos numéricos era común en el antiguo Israel. Las formas de estos símbolos numéricos revelan influencias extranjeras, de ninguna manera inesperadas en las circunstancias dadas. Además, el uso literario de los números en la Biblia demuestra una buena cantidad de influencia extranjera. Los números altos a menudo tienen una forma que es característica de los números originalmente expresados ​​en el sistema numérico mesopotámico con la base 60. En muchos casos se pueden hacer comparaciones estilísticas entre pasajes de la Biblia y paralelos en leyendas ugaríticas o sumerio-acadias. La naturaleza histórico-literaria-religiosa de la Biblia explica por qué los cálculos en las Escrituras son muy pocos y poco sofisticados. Para una comprensión adecuada del papel que juegan los números y el conteo en el entorno cultural donde surgió la literatura bíblica, es necesario buscar fuentes e influencias ajenas. A continuación, se demostrará la importancia de ese papel y la profundidad y amplitud de sus raíces. Se pondrá relativamente poco énfasis en los números que aparecen en la Biblia misma, ya que existen discusiones detalladas en otros lugares ( se demostrará a continuación. Se pondrá relativamente poco énfasis en los números que aparecen en la Biblia misma, ya que existen discusiones detalladas en otros lugares ( se demostrará a continuación. Se pondrá relativamente poco énfasis en los números que aparecen en la Biblia misma, ya que existen discusiones detalladas en otros lugares (BID 3: 561-67; EncJud 12: 1254-61). Vea también MATEMÁTICAS, ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA.

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A. Representaciones numéricas y aritmética

1. El Oriente Medio prealfabetizado

2. Antigua Mesopotamia

3. Irán antiguo

4. Antiguo Egipto

5. Antigua Siria-Palestina

B. Números en la literatura poética y religiosa

1. Sumero-Akkadian

2. Ugarítico

3. La Biblia

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A. Representaciones numéricas y aritmética     

1. El Medio Oriente prealfabetizado. Durante cinco milenios antes de la invención de la escritura, un método uniforme para el registro de números se extendió por todo el Medio Oriente (Schmandt-Besserat 1977). El método consistió en el uso de pequeñas -fichas- de arcilla como representaciones de números y medidas. Estas fichas se han descubierto en prácticamente todos los sitios excavados desde Anatolia en el norte hasta Irán en el este y Egipto en el oeste. Algunas fichas encontradas en Israel, por ejemplo, pueden fecharse en el séptimo milenio A.C. (Jericó), mientras que otras son tan tardías como el segundo milenio A.C.     (Megido). Estas fichas vienen en muchas formas, como cilindros, esferas, discos, conos, ovoides, etc., y en varios tamaños. Es probable que se utilizaran en el comercio y el comercio, en y entre muchas regiones autónomas. El significado de las diversas formas y tamaños de las fichas se puede inferir, de manera provisional, a partir de una comparación con las formas y tamaños correspondientes de las notaciones numéricas escritas que eventualmente las reemplazaron (ver más abajo).

Se utilizó el sistema de representación número basado en tokens sin ninguna modificación aparente así en el cuarto milenio ANTES DE CRISTO El siguiente paso en este desarrollo cada vez más rápido fue cuando se suspendió el uso de las fichas en favor de un nuevo invento, tabletas de arcilla "impresas" con marcas de punzón como símbolos numéricos. Se utilizaron palpadores de caña de diferentes diámetros para perforar marcas circulares y semiovales en la arcilla, en un obvio intento de imitar las formas de pequeñas y grandes fichas cilíndricas, esféricas y cónicas. La invención de la escritura fue el último paso lógico en esta cadena de innovaciones. Tuvo lugar, probablemente en el sur de Mesopotamia, en algún momento hacia el final del cuarto milenio. en un obvio intento de imitar las formas de pequeñas y grandes fichas cilíndricas, esféricas y cónicas. La invención de la escritura fue el último paso lógico en esta cadena de innovaciones. Tuvo lugar, probablemente en el sur de Mesopotamia, en algún momento hacia el final del cuarto milenio. en un obvio intento de imitar las formas de pequeñas y grandes fichas cilíndricas, esféricas y cónicas. La invención de la escritura fue el último paso lógico en esta cadena de innovaciones. Tuvo lugar, probablemente en el sur de Mesopotamia, en algún momento hacia el final del cuarto milenio.ANTES DE CRISTO

2. Mesopotamia antigua. Los primeros registros escritos desenterrados hasta ahora son tablillas de arcilla "proto-sumerias" de Uruk en el sur de Mesopotamia (ca. 3000 a. C.     ). Esta escritura arcaica de Uruk consta de signos de palabras y números. Algunos signos denominativos son pictográficos, mientras que otros son abstractos y solo pueden interpretarse cuando son precursores de los signos denominativos sumerios de significado conocido. Los signos numéricos, perforados en la arcilla con un juego de palpadores redondos, son fáciles de distinguir de los signos denominativos. Consisten en combinaciones de marcas pequeñas y grandes, redondas y semiovales. Los números sexagesimales se escriben mediante la repetición de los signos -óvalo pequeño, redondo pequeño, óvalo grande, redondo pequeño en óvalo grande, redondo grande- con los valores 1, 10, 60, 600, 3600. Los signos numéricos también pueden denotar valores de medidas de grano, longitud, área, etc., de modo que un mismo signo pueda tener, por ejemplo, los valores 10, 6 unidades de grano y 1.800 unidades de área, según el contexto (Friberg 1984). Medidas de tiempo (días, meses, años) se indican mediante diversas combinaciones de signos numéricos con el pictograma para "sol, día". El año -administrativo- es, tanto en los primeros textos de Uruk como en los textos cuneiformes posteriores, un año ficticio de 12 meses con 30 días cada uno (Englund 1987).

Con la evolución de la escritura cuneiforme, los signos numéricos cambiaron de forma, pero todavía se usaban tanto para números como para medidas sexagesimales. El resultado final del desarrollo fue el sistema de valor posicional sexagesimal (ca. 2000 AC ), que permitió que todos los números se escribieran mediante la repetición de solo dos signos numéricos, "cuña vertical" para "1" y "cuña oblicua" (Winkelhaken ) para "10". Un cero sexagesimal se usó con moderación, con mayor frecuencia en los textos matemáticos y astronómicos babilónicos tardíos (ca. 300 a. C. ).

Los textos matemáticos más antiguos que se conocen son de la ciudad sumeria de Shuruppak (Fara), ca. 2650 AC Consisten en una tabla de cuadrados, un ejercicio de multiplicación y dos ejercicios de división, todos con números elevados. El período OB posterior , ca. 1700 a. C., fue una época en la que la enseñanza de las matemáticas era intensa en las escuelas de escribas de Mesopotamia. En el nivel elemental, esta enseñanza se basaba en el uso de tablas de multiplicar, tablas de división y tablas de medidas elaboradas. En un nivel más avanzado, el plan de estudios comprendía algoritmos para el cálculo de raíces cuadradas, recíprocos, etc., así como métodos para resolver ecuaciones cuadráticas y problemas indeterminados, y reglas prácticas para cálculos relacionados con ladrillos, riego, división del trabajo, y así sucesivamente (Neugebauer y Sachs 1945). Durante el período LB , ca. 300 a. C., hubo un renovado interés en las matemáticas, junto con la producción de tablas de división matemática asombrosamente sofisticadas o tablas astronómicas con predicciones para los movimientos del sol, la luna y los planetas.

3. Irán antiguo. Hacia el final del cuarto milenio a. C.     la influencia de la cultura Uruk tardía en Mesopotamia llegó hasta el antiguo Irán. Este fue el momento de los sobres esféricos y las tabletas impresas. A partir de entonces siguió una ruptura en las relaciones entre las dos regiones, aproximadamente en el momento en que se inventó la escritura arcaica Uruk en Mesopotamia. No mucho después, se inventó y estableció en Irán un guión "protoelamita" independiente. Se basaba en un repertorio de signos abstractos, probablemente una mezcla de signos de palabras y signos de sílabas, escritos en tablillas de arcilla en líneas de derecha a izquierda. El guión resultó ser relativamente efímero y aún no se ha descifrado, con una excepción importante, el signo de "cebada, grano". Los signos numéricos que están presentes en prácticamente todos los textos protoelamitas se forman de la misma manera que los signos numéricos de las primeras tablillas de Uruk (Friberg 1984). Es posible mostrar que los sistemas de notación para los números sexagesimales y los números de granos son casi idénticos en las dos escrituras. También hay, inesperadamente, un tercer sistema protoelamita de notaciones numéricas que es decimal, con signos especiales para "100" y para "1.000". Los signos de números decimales probablemente se usaron para contar animales, mientras que los números sexagesimales se usaron para contar personas y objetos inanimados. En las escrituras sumerias nunca hubo signos especiales para números decimales. Las palabras para "cien" y "mil" en sumerio eran palabras prestadas del idioma semítico de la parte acadia (semita) de la población del sur de Mesopotamia. Los signos especiales para "100" y "1,000" no existieron hasta una fecha relativamente tardía, alrededor del final del tercer milenio. inesperadamente, un tercer sistema protoelamita de notaciones numéricas que es decimal, con signos especiales para "100" y para "1.000". Los signos de números decimales probablemente se usaron para contar animales, mientras que los números sexagesimales se usaron para contar personas y objetos inanimados. En las escrituras sumerias nunca hubo signos especiales para números decimales. Las palabras para "cien" y "mil" en sumerio eran palabras prestadas del idioma semítico de la parte acadia (semita) de la población del sur de Mesopotamia. Los signos especiales para "100" y "1,000" no existieron hasta una fecha relativamente tardía, alrededor del final del tercer milenio. inesperadamente, un tercer sistema protoelamita de notaciones numéricas que es decimal, con signos especiales para "100" y para "1.000". Los signos de números decimales probablemente se usaron para contar animales, mientras que los números sexagesimales se usaron para contar personas y objetos inanimados. En las escrituras sumerias nunca hubo signos especiales para números decimales. Las palabras para "cien" y "mil" en sumerio eran palabras prestadas del idioma semítico de la parte acadia (semita) de la población del sur de Mesopotamia. Los signos especiales para "100" y "1,000" no existieron hasta una fecha relativamente tardía, alrededor del final del tercer milenio. mientras que los números sexagesimales se utilizaron para contar personas y objetos inanimados. En las escrituras sumerias nunca hubo signos especiales para números decimales. Las palabras para "cien" y "mil" en sumerio eran palabras prestadas del idioma semítico de la parte acadia (semita) de la población del sur de Mesopotamia. Los signos especiales para "100" y "1,000" no existieron hasta una fecha relativamente tardía, alrededor del final del tercer milenio. mientras que los números sexagesimales se utilizaron para contar personas y objetos inanimados. En las escrituras sumerias nunca hubo signos especiales para números decimales. Las palabras para "cien" y "mil" en sumerio eran palabras prestadas del idioma semítico de la parte acadia (semita) de la población del sur de Mesopotamia. Los signos especiales para "100" y "1,000" no existieron hasta una fecha relativamente tardía, alrededor del final del tercer milenio.BC LOS signos cuneiformes para "10,000" aparecen sólo en algunos textos de sitios periféricos (Nuzi, Hattusha, Ugarit). La explicación del significado de los signos numéricos proto-elamitas implica un importante desciframiento parcial de muchas tablillas de arcilla proto-elamitas. Se puede demostrar que la mayoría de los textos son documentos económicos o administrativos simples con adiciones, multiplicaciones y conversiones entre varios sistemas de números. A este respecto, no hay gran diferencia entre los textos protoliterados del antiguo Irán y los de la vecina Mesopotamia.

4. Antiguo Egipto. Los datos disponibles sugieren que la escritura se inventó en Mesopotamia hacia el final del cuarto milenio ANTES DE CRISTO Información sobre la nueva técnica debe tener difundió rápidamente, porque dentro de un lapso de tiempo muy breve se inventaron otras dos secuencias de comandos independientes, el guión protoelamita en Irán y la escritura jeroglífica en Egipto. Este último parece haber sido completamente desarrollado desde el principio, completo con anotaciones para grandes números hasta un millón (la imagen de un dios sentado estirando ambos brazos). El papel de "un millón" como notación convencional para un "gran número" se desprende de su frecuente aparición en los mitos egipcios ( ANET , 3-36): In The God and His Unknown Name of Power     se dice de Isis, -Su corazón era más astuto que un millón de hombres; era más selecta que un millón de dioses; era más perspicaz que un millón de nobles muertos ". En el hechizo para no morir por segunda vez,Atum responde al difunto: "Estás (destinado) a millones de millones (de años), una vida de millones". Los únicos números enteros que aparecen en la escritura jeroglífica son números decimales: un solo trazo para "1", un arco para "10", un loto para "100", un dedo para "1,000" y un renacuajo para "10,000" ( Gillings 1972). Los números jeroglíficos en las inscripciones monumentales se formaron mediante el principio aditivo, por lo que escribir un número como 89 requería 17 símbolos, 8 nueves y 9 unos. Para fines prácticos cotidianos, se desarrolló la escritura hierática cursiva, con signos individuales para las unidades 1-9, para las decenas 10-90, para las centenas 100-900 y para los miles 1.000-9.000 (Ver LA , sv Symbolische Zahlen ). La notación de valor posicional para números decimales y fracciones nunca se introdujo.

Tres tipos de notaciones para fracciones aparecen en las secuencias de comandos hieráticas y jeroglíficos, a saber, -fracciones de unidad- 1 / n , señales individuales para los -fracciones especiales- ¹ / 2 , ¹ / 3 , ¹ / 4 , 2 / 3 , y 3 / 4 , y signos que denotan fracciones binarias (de ¹ / 2 a ¹ / 64 ) de las unidades básicas de capacidad y medida de área. En sus formas jeroglíficas, las fracciones de capacidad se modelaron como partes del ojo del dios halcón Horus: la parte interna (¹ / 2 ), el iris (¹ / 4 ), la ceja (¹ / 8 ), etc. La unidad fracciones 1 / nse escribieron con el signo r ‘ , -boca-, como r’-5 , r’-6 , etc. Los papiros matemáticos de la primera mitad del segundo milenio AC muestran que el concepto de fracciones comunes a / b era desconocido. Esto condujo a grandes dificultades prácticas en el curso de incluso los cálculos más simples que involucraban fracciones. El ejemplo más conocido lo constituye el Papiro matemático de Rhind (Robins y Shute 1987). A desproporcionadamente grande parte de este documento está ocupado por una mesa con reglas para la duplicación de fracciones unitarias, de 2 × ¹ / 3 = 2 / 3 a 2 x ¹ / 101 = ¹ / 101 + ¹ / 202 + ¹ /303 + ¹ / 606 . La duplicación era una operación aritmética importante por la razón de que la multiplicación por cualquier número entero podía reemplazarse por una serie de duplicaciones, seguidas de una suma. Entonces, por ejemplo, dado que 13 = 1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 +1 × 1, el producto 13 × 7 se puede calcular como (1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1) × 7 = 1 × 7 + 0 × 14 + 1 × 28 + 1 × 56 = 105. El método tenía la ventaja de que podía usarse igualmente bien para resolver problemas de división. Es posible que los escribas egipcios hicieran adiciones a algún tipo de ábaco primitivo. Las multiplicaciones, divisiones y operaciones con fracciones se llevaron a cabo explícitamente en el papiro, a veces con el uso de tinta negra y roja para conveniencia del lector.

Algunos textos importantes a finales del siglo egipcios matemáticos (3d BC siglo -2d AD ), escritos en la escritura demótica, fueron publicadas por Parker (1972). En ese momento, las conquistas persas y griegas de Egipto habían abierto el camino para un aumento de los contactos culturales entre Egipto y Mesopotamia. Este hecho es obvio en los textos matemáticos demóticos de Parker, que demuestran una elección de temas típicamente babilónica. Por otro lado, el carácter conservador de las tradiciones matemáticas egipcias se manifiesta a través del uso continuo de fracciones unitarias difíciles de manejar como el único medio para expresar fracciones.

Unos pocos papiros matemáticos griegos tardíos de mediados del primer milenio D.C. , recuperados de sitios en Egipto, son otros ejemplos de cuán asombrosamente tenaces pueden ser las tradiciones matemáticas (Knorr 1982). El papiro Akhmim, el más completo de estos textos, muestra claras similitudes con el papiro matemático Rhind, que tiene más de 2.000 años de antigüedad . Comienza con una extensa tabla de multiplicar para fracciones unitarias y continúa con 50 problemas aritméticos, muchos de ellos resueltos con técnicas relacionadas con las utilizadas en la construcción de la tabla. La parte principal de la tabla muestra los productos de 2 / 3 y las fracciones de unidad de ¹ / 3 a ¹ / 10con las unidades, decenas, centenas y miles. Los productos se expresan como sumas de fracciones unitarias, como en el ejemplo ¹ / 7 × 1,000 = 142 ¹ / 2 ¹ / 3 ¹ / 42 .

Las notaciones numéricas utilizadas en los papiros greco-egipcios mencionados son números alfabéticos griegos (Ifrah 1981), utilizando las letras alpha-theta para las unidades, iota-koppa para las decenas y rho-san para las centenas. El alfabeto griego clásico con sus 24 letras es, para este propósito, aumentado con tres letras obsoletas, el digamma (6), el koppa (90) y el san (900). Los miles y las miríadas (diez mil) se indican con las letras alfa-theta con marcas distintivas especiales. Es difícil evaluar la antigüedad de este sistema, pero está documentado en un contrato de matrimonio en un papiro de Elefantina 310 a. C., en monedas que datan del reinado de Ptolomeo Filadelfo (286-246 a. C. ), y en papiros con tablas de multiplicar y tablas de cuadrados de la última parte del siglo III a. C. Desde esta época hasta el final de la Edad Media, el alfabeto griego los números jugaron casi el mismo papel en el Cercano Oriente y alrededor del Mediterráneo oriental que los números romanos en Europa occidental. Sin embargo, los números alfabéticos no eran el único tipo de números utilizados por los antiguos griegos. En las inscripciones monumentales griegas de la segunda mitad del primer milenio a. C.(y también en un famoso tablero de conteo griego) uno encuentra números áticos (o atenienses), con signos acrofónicos especiales para 1, 5, 10, 5 × 10. . . 5 × 10,000. El sistema numérico del ático tenía la misma estructura que el sistema romano más conocido.

5. Antigua Siria-Palestina. Alrededor de la mitad del milenio 3d AC , Ebla era una ciudad-estado semita floreciente en Siria. Se encontró que los restos de su rica biblioteca contienen en su mayoría relatos administrativos y económicos escritos en eblaic en tablillas de arcilla usando la escritura cuneiforme sumeria antigua. Los números utilizados en estas cuentas son decimales. Uno de los textos es un ejercicio matemático, la solución de un problema de división que involucra números altos (Friberg 1986). Es el texto matemático conocido más antiguo con números decimales. El problema resuelto en el texto se puede formular de la siguiente manera: si las raciones de un mes para un hombre es 10 / 11 gu-bar de cebada, a continuación, el número de gu-bar      son necesarios para las raciones diarias de 260.000 (2 ma-i-ḫu 6 ri-ba x ) hombres? Un algoritmo inteligente y eficiente produce la respuesta correcta: 7,879 gu-bar. El número de la respuesta está escrito en una notación híbrida decimal-sexagesimal que es típica de los textos cuneiformes semíticos como 7 li 8 mi 60 + 20 – 1. Otro texto de Ebla, en sumerio, contiene una breve lista de notaciones para números sexagesimales altos . Termina con una admisión de derrota: el número 60 × 60 × 60 × 60 (= 12,960,000) -no se puede contar-, ya que el escriba no puede pensar en una notación apropiada para él. En una lista metrológica OB, el mismo número se denomina "el gran Š̆R que no alcanza la mano".

Mari, un puesto avanzado de Mesopotamia en el alto Éufrates, ha producido algunos textos matemáticos OB (Soubeyran 1984). Los textos comprenden la variedad habitual de tablas de multiplicar combinadas y tablas de recíprocos o raíces cuadradas. También hay un ejercicio matemático que contiene un paralelo temprano de la famosa leyenda india sobre la recompensa exigida por el inventor del juego de ajedrez: si uno comienza con 1 grano de cebada, y si la cantidad de cebada se duplica todos los días, ¿cómo ¿Cuánta cebada habrá después de 30 días? La respuesta, calculada correctamente y expresada en el sistema de medición de granos de Mari, tiene una característica inesperada: las palabras lı̄mum y mētum, que normalmente significan "mil" y "cien", tienen aquí los valores sexagesimales 600 y 60. Existen ejemplos aproximadamente contemporáneos de similar naturaleza en Mesopotamia, que demuestran claramente las dificultades causadas por el choque entre las aritméticas sexagesimales asociadas con el sumerio -La escritura cuneiforme acadia y las palabras de números decimales indígenas de las poblaciones semíticas.

La ciudad costera de Ugarit, que floreció entre los siglos XV y XIII a. C. , recibió la influencia de la civilización mesopotámica. Esto se demuestra claramente, por ejemplo, en algunas tablillas de arcilla encontradas en Ugarit, en las que las listas metrológicas sumerio-acadias (listas de notaciones para medidas de capacidad, peso y área) están inscritas en escritura cuneiforme. En una de estas listas, las medidas de capacidad se enumeran desde ¹ / 3 SÌLA (= ¹ / 3 litro) hasta 60 SIG 7 GUR (= 60 × 60 × 60 × 5 × 60 SÌLAS ). En otra lista, las medidas de peso proceden de ¹ / 2 grano a 60 talentos (= 60 × 60 × 60 siclos = 60 × 60 × 60 × 3 × 60 granos). Los textos escritos en ugarítico que utilizan el alfabeto cuneiforme ugarítico a menudo expresan números en términos de palabras numéricas ugaríticas y utilizan el sistema local de medidas de peso. Un buen ejemplo lo ofrece un breve texto (Liverani 1972), que menciona šb˓.kkr.š˓rt? B.kkr.aḏdd | wbkkr.ugrt ḫmš.kkrm alp.ṯmn mat kbd d mnḥt "siete talentos de lana en el talento de Ashdod, pero en el talento de Ugarit cinco talentos, mil ochocientos [siclos] como tributo". El texto parece dar a entender que el talento de Ashdod sólo valía 4 / 5 del talento de Ugarit. De hecho, 4 / 5 × 7 talentos = 53 / 5 talentos = 5 talentos 1800 siclos, si 1 talento Ugarit = 3000 siclos. La palabra numérica de mayor rango en ugarítico es rbt, "miríada", "10,000". Para los -fracciones especiales- ¹ / 2 y ¹ / 3 el cuneiforme usual se utilizan señales, pero 2 / 3 fue mencionada por el sumerio / acadio loanword sûnpt (Gordon 1965).

El orden de las 30 letras del alfabeto cuneiforme ugarítico se conoce a partir de varias listas alfabéticas, los llamados -libros de ortografía-, aproximadamente del siglo XIV AC (Ifrah 1981: lám. 95). Los ejemplos más antiguos conocidos del alfabeto "lineal" fenicio, por otro lado, no se remontan al siglo XII a. C. Las 22 letras del alfabeto fenicio están ordenadas de la misma forma familiar que las letras de los muchos alfabetos derivados de él: arameo, hebreo, árabe temprano (ver más abajo), griego, etrusco, romano, etc. Además, si esas 8 letras se eliminan del alfabeto ugarítico que no tienen equivalentes en el alfabeto fenicio, entonces las letras restantes de este alfabeto también se ordenan en el mismo orden. Por lo tanto, es probable que el alfabeto ugarítico fuera solo una variante expandida (en cuneiforme) de un alfabeto semítico del noroeste primordial que se remonta al menos al siglo XV a. C.Esta conclusión es importante porque los antiguos griegos no eran los únicos, y probablemente no los primeros, personas que usaban números alfabéticos. Otros ejemplos son los hebreos y los árabes. (La atribución a menudo repetida del primer uso de números alfabéticos a los fenicios, sin embargo, nunca ha sido confirmada.) En el caso del alfabeto hebreo con sus 22 letras, ˒alep – ṭet se usan para los valores 1-9, yod – ṣade para 10-90 y qop – tawpor 100-400 (Ifrah 1981: cap. 17). Las unidades de números más altos se expresan mediante combinaciones de letras. En el caso del alfabeto árabe, la situación se complica por el hecho de que el orden de las letras de este alfabeto ya no es el mismo que cuando las letras recibieron sus valores numéricos (Ifrah 1981: cap. 21). La escritura hebrea temprana se usa en inscripciones que datan de la época de los reyes de Judá e Israel (alrededor del siglo XI al VI A.C.). Muchos de estos documentos en forma de ostraca inscritos con recibos o mensajes simples revelan que no solo se usaron palabras numéricas, sino también signos de números genuinos para escribir números. Se han encontrado ostraca en Samaria, Laquis, Arad, Cades-barnea y la colina de Ofel. En todos los casos, los signos numéricos del hebreo temprano son idénticos a los números hieráticos egipcios en la forma que tenían durante el Imperio Nuevo (Ifrah 1981: cap. 15). Esta imagen está confirmada por inscripciones hieráticas en muchos pesos inscritos israelitas (Aharoni 1966). Como 4 siclos israelitas pesaban lo mismo que 5 qedets egipcios ,las piedras de peso de 4, 8, 16 y 24 siclos están inscritas con los números hieráticos de 5, 10, 20 y 30. Los mejores ejemplos de ostraca inscrita con números son los de Kadesh-barnea (Lemaire y Vernus 1980; 1983). En uno de estos ostraca, un simple ejercicio de escritura, el número 2.382 se repite muchas veces. Un ostracon particularmente grande contiene en el anverso una lista de medidas de capacidad, de 1 a 10 ˒lpm (10,000) kor, una lista de medidas de peso, de 1 a 10 ˒lpm shekels; y una lista de fracciones parcialmente ininteligible (?).

Como pueblo comerciante y viajero, los arameos impusieron gradualmente su cultura en todo el Medio Oriente. Los hebreos, que adoptaron el idioma y la escritura de los arameos, también tomaron prestada su forma de denotar números, al igual que los fenicios y otros pueblos semíticos. Las notaciones numéricas arameas se basaron en el uso de signos separados para 1, 10, 100, 1,000 y 10,000. Para las unidades y las decenas se utilizó el principio aditivo, de modo que, por ejemplo, 70 se escribió como 7 decenas, agrupadas de dos en dos para que el resultado pareciera 20 + 20 + 20 + 10. Para las unidades de rango superior, el principio multiplicativo se usó, de modo que 18,000 se escribió como 1 × 10,000 + 8 × 1,000 (Ifrah 1981: caps. 19, 25). Se pueden encontrar ejemplos de notaciones numéricas arameas en muchos papiros conservados de la colonia militar judía establecida en el siglo V.BC en la isla de Elefantina, en el Nilo. Un ostracón bilingüe encontrado en Khirbet-el-Kom, un sitio en Israel entre Laquis y Hebrón, data del siglo III AC. Menciona dos veces, una en griego y otra en arameo, una suma de 32 dracmas. En la parte griega del texto, 32 se escribe como lambda beta, en la parte aramea como 20 + 10 + 2.

Los ejemplos más antiguos del uso de números alfabéticos hebreos pueden remontarse a finales del siglo II y I A.C. , es decir, una sola letra mem para una fecha de un año en un sello de arcilla, y la letra gimel como un número de hoja en un pergamino. rollo encontrado en Khirbet Qumran (Ifrah 1981: cap. 18). Otros ejemplos son ofrecidos por monedas con inscripciones como "Shekel de Israel año 5 (él) " (golpeado durante la primera rebelión judía, 70 D. C.), y "Año 2 (apuesta) de la liberación de Israel" (desde la época de la segunda rebelión judía, AD 132-34), etc. Las fechas relativamente tardías de estos primeros ejemplos sugieren que la numeración alfabética hebrea se introdujo como resultado de la influencia griega. Como cuestión de hecho, entre el siglo 1 AC y el siglo séptimo AVISO , cuando la numeración alfabética hebreo se hizo cada vez más común en el mundo judío, muchos escribas judíos en la diáspora prefieren utilizar los numerales alfabéticos griegos.

B. Números en la literatura poética y religiosa     

1. Sumero-acadio. En el mito sumerio El descenso de Inanna al inframundo. ( ANET , 55), Inanna tiene que renunciar, uno a uno, a sus 7 símbolos- YO , su corona, su peluca, su vara de medir y su línea, etc., mientras entra por las 7 puertas al inframundo. Su cadáver es colgado de una estaca durante 3 días y 3 noches, pero vuelve a la vida cuando "sesenta veces el alimento de la vida, sesenta veces el agua de la vida, lo rociaron".     

Tres fuentes (dos textos OB y ​​la historia babilónica de Berossos) contienen listas de los reyes sumerios que reinaron antes del Diluvio, todos caracterizados por una longevidad asombrosa (Langdon 1923). En W.-B. 444, 8 reyes antediluviano de cinco ciudades se dice que han reinado durante 8, 10, 12, 8, 10, 8, 8, 55 / 6 y 51 / 6 SR (es decir, 3600) años, o para un total de 1 SR GAL 7 SR (= 67 × 3.600) años. En W.-B. 62, 10 reyes reinan durante 2 šár-gal 7 šár años, y Berossos menciona a 10 reyes que reinan durante un par de 432.000 (2 Š̆R-GAL ) años.

La epopeya de Gilgamesh gozó de una popularidad sin precedentes en la literatura cuneiforme; sus ediciones conocidas, en cuatro idiomas diferentes, se extienden en el tiempo desde el siglo XXI al VI AC , y su procedencia desde S Mesopotamia hasta Anatolia (Thompson 1928; Schott y von Soden 1969). Uno de sus rasgos distintivos es la tendencia a utilizar los números como herramienta literaria. Esta tendencia es en parte consecuencia del importante papel desempeñado por la enseñanza de las matemáticas y la metrología en la escuela sumeria tardía / babilónica antigua, la eduba.Para mencionar algunos ejemplos: Gilgamesh, el héroe divino, es "dos tercios divino, un tercio humano", mide 11 codos de altura. Enkidu, su compañero, "se entretiene seis días, siete noches con la chica cortesana en su apareamiento". Los dos están cargados cada uno con hachas y espadas que pesan 10 talentos (600 minas). La puerta de Uruk, la ciudad de Gilgamesh, tiene 7 cerrojos. De camino al Bosque de los Cedros, los héroes "rompen el ayuno después de veinte ‘horas dobles’, descansan después de las treinta"; después de 3 días han cubierto la distancia de Uruk al Líbano. Humbaba levanta 8 vientos contra ellos. Las invitaciones de Ishtar son rechazadas por Gilgamesh, quien acusa a la diosa de cavar "siete y siete" pozos para atrapar al león que ama. Ishtar convoca al Toro Celestial, amenazando con 7 años de hambruna. El aliento del toro mata a 100 hombres de Uruk, 200, 300. Enkidu yace en su lecho de muerte -por un día, un segundo dia. . . un undécimo y un duodécimo ". Gilgamesh sigue el curso del sol, a través de la montaña de la oscuridad, durante 12 "horas dobles". Para cruzar las Aguas de la Muerte, modela postes de remar 5NINDAN (60 codos) de largo y usa uno, un segundo ,. . . , un duodécimo; después de 2 veces 60 se han gastado todos. Utnapishtim le cuenta cómo hizo su barco 10 NINDAN alto, 10 NINDAN cuadrado arriba, dividió sus entrañas y lo untó con 6 veces 3,600 medidas de betún; al séptimo día se terminó el trabajo. Gilgamesh no pasa la prueba de inmortalidad, al evitar dormir durante 6 días y 7 noches. El tiempo que duerme, 7 días en total, está anotado en la pared de la casa y marcado por los 7 pedazos de pan horneados para él pero no comidos.

The Babylonian Story of the Flood (Lambert y Millard 1969) es otro ejemplo de una obra literaria cuneiforme con números interesantes. Comienza con una descripción de la miseria de los dioses, resumida en un pasaje difícil con la traducción dudosa: -Los siete grandes Anunnakū estaban haciendo sufrir a los Igigū – (ver más abajo). Más tarde, se menciona cómo Bēlet-kāla-ilı̄, Señora-de-Todos-los-Dioses, -cortó 14 pedazos de arcilla, 7 puso a la derecha, 7 a la izquierda. . . 7 y 7 diosas del nacimiento, 7 produjeron machos, 7 produjeron hembras ". Un motivo que se repite con frecuencia es el lamento "2 veces aún no habían pasado 600 años, cuando la tierra se extendió y los pueblos se multiplicaron".

La prominencia del número 7 en los ejemplos citados es evidente. Hehn (1907) cita muchos más ejemplos de fuentes mesopotámicas y de otras fuentes. La etimología de la palabra semítica para "7" no está clara y no se puede utilizar para explicar la popularidad de este número en particular. La explicación correcta puede ser simplemente que 7 es un número impar de tamaño conveniente. También es el primer número "no regular" en el sentido de las matemáticas OB (no es divisible exclusivamente por 2, 3 y 5). Hehn propone que "7" puede tener, en muchos casos, el significado simbólico de "innumerables". El zigurat de Uruk, por ejemplo, tenía 7 historias. Algunos textos léxicos o bilingües traducen "7" (pero también "40" y "50") con kisûsûatu, una palabra que significa "totalidad". El ejemplo más claro es probablemente el babilónico-asirio d 7-bi o il si-bit-te, los "Siete Dioses", a menudo mencionados junto con, o en lugar de, los "Grandes Dioses" y todos los "Dioses Conocidos y Desconocidos". Los Siete Dioses están asociados con los enigmáticos Anunnakū e Igigū (ver RLA sv Igigu), que a veces son responsables de todo tipo de eventos desfavorables, a veces representativos de todos los dioses en los cielos o en la tierra. Los criptogramas interesantes para Anunnakū e Igigū son 1 10 y 5 1 1. El primero de estos criptogramas puede tener el valor 1 (60) × 10 = 600, el otro ambos 5 (60) × 2 = 600 y 5 + 1 + 1 = 7.

Un texto de tabla metrológica NB de Uruk (von Weiher y Friberg, inédito) comienza con una tabla de "números místicos" de los dioses. Después de algunas líneas dañadas, siga las ecuaciones d 7 – bi = [7], d I – gi 4 – gi 4 = 8, d A – nun – na – ki = 9. La tabla continúa, asignando los números 10, 20, 30, 40, 50 a los grandes dioses Bēl, Shamash, Sı̂n , Ea y Enlil. Este segundo grupo de números místicos aparece también, con algunos otros, en un texto místico de NA (Livingstone 1986: 30) que enumera -nombres de Sı̂n, -El dios de la luna. Ese texto asigna a Anu, "padre de los dioses", el número 1 (o 60). Un texto relacionado ( ibid. , 22) comienza mencionando los días del mes asociados con Sı̂n : el día 7, el día 14, el día de la luna llena (sûapattu), etc. Continúa con una serie de "metamatemáticas" ecuaciones. Un ejemplo será suficiente: se dice que el día 22 está asociado con el día 14, porque 14 × 10 = 140 = 2 20 (base 60), y si se invierte el orden de los dígitos, entonces 2 20 se convierte en 20 (+ ) 2 = 22. Los números 40 y 50 aparecen como ideogramas para dioses ya en textos del tercer milenio.

El razonamiento metamatemático también puede estar detrás del hecho de que 3 20 aparece como un criptograma para "rey" en los textos de presagio cuneiforme. De hecho, 20 (el número del dios sol) es un ideograma común para šarru , "rey", y 20 × 10 = 200 = 3 20 (base 60). Otros criptogramas comunes en los textos de presagio son 15 para imittu, "derecha" y 2 30 (= 15 × 10) para šumēlu, "izquierda". Según un famoso pasaje de una inscripción del rey Sargón II de NA, el muro que rodeaba su ciudad Dur Sharrukin (Khorsabad) medía 4 (3600) 3 (600) 1 (60) 3 (6) 2 codos. Este es también, dice Sargón en la inscripción, "el número de mi nombre". En un esfuerzo por explicar esta declaración críptica, uno puede resolver el nombre del rey en sus partes constituyentes šarru-kı̄nu. La primera parte del nombre se puede reemplazar por el criptograma 3 20, la segunda parte por el sumerograma GUB (la imagen de un pie). Un signo con la misma pronunciación es GUB 3 (la imagen de un brazo izquierdo), que es un sumerograma de šumēlu, "izquierda" y se puede equiparar con 2 30. De esta manera, el nombre del rey puede expresarse mediante el criptograma 3 22 30, un número sexagesimal con 5 "unidades" y 5 "decenas". La longitud de la muralla de la ciudad transformada a la notación de valor posicional sexagesimal es 4 31 20, otro número con 5 "unos" y 5 "decenas" y, por lo tanto, también otro criptograma para "Sharrukin" o "Sargon".

2. Ugarítico. Al igual que la epopeya mesopotámica de Gilgamesh , los textos poéticos ugaríticos (Gordon 1949) exhiben una pronunciada tendencia a utilizar los números como herramienta literaria. En el ciclo de Baal y Anat, por ejemplo, los "números escalonados" es un tema recurrente: para la decoración de la casa de Baal, Ḫasis "derrama plata por miles, oro derrama por miríadas". Baal declara que "mil šd la casa comprenderá, una miríada de kmn el palacio" ( šiddu y kumani      son, respectivamente, préstamos acadio y hurrita para una determinada unidad ugarítica de área y medida de longitud). Una variante de este tema involucra decenas y unidades juntas: Las conquistas de Baal son inmensas, -Él tomó sesenta y seis pueblos, setenta y siete ciudades, ochenta, Baal. . . noventa, Baal ". Antes de descender al inframundo, preña una novilla: -Se acuesta con ella setenta y siete veces. . . ochenta y ocho veces, para que conciba ". Otro tema recurrente es la -serie climática de números-, como cuando la casa de Baal se convierte en oro y plata por la aplicación del fuego divino: -He aquí un día y un segundo. . . un tercero y un cuarto. . . un quinto y un sexto, el fuego devora la casa. . . al séptimo día el fuego sale de la casa ". Una serie climática similar aparece en un pasaje de la canción hitita de Ullikummis.( ANET , 122): -Bebieron una vez, bebieron dos. . . bebieron siete veces; y Kumarbis comenzó a hablar ".

Los recursos estilísticos mencionados anteriormente se aplican también en la Epopeya de Keret. En un sueño, El le advierte al rey Keret: -Por un día y un segundo, un tercer día, un cuarto día, un quinto día, un sexto día, no envíes tus flechas hacia la ciudad. . . he aquí, al amanecer del día siete, el rey Pbl no dormirá ". Keret hace un voto: -Si puedo llevar a Ḥurrai a mi casa. . . Daré el doble de su precio en plata, el triple de su precio en oro ". "Grandes números", que comienzan con 3.000.000, se utilizan en la descripción "Tu ejército, una gran hueste: trescientas miríadas ( ṯlṯ mat.rbt), tropas sin número, soldados sin cuentas. . . dispuestas de dos en dos, míralas todas dispuestas de tres en tres ". Las primeras líneas de la epopeya son difíciles de traducir. Por lo general, se asume, quizás por error, que mencionan una secuencia de fracciones unitarias que suman (casi) exactamente 1. La difícil situación del rey Keret se describe de la siguiente manera: -Destruida está la casa del rey, que tenía siete hermanos , (había) ocho hijos de una madre. . . un tercio murió al nacer, un cuarto por enfermedad, un quinto por la pestilencia acumulada, un sexto por el mar hundido, un séptimo de ellos cayó a espada. . . una familia ha muerto ". En la Epopeya de Aqhat, un ciclo de años de escasez se describe con las palabras -Siete años puede fallar Baal, ocho el Jinete de las nubes, sin rocío, sin lluvia. . . "

3. La Biblia.     Los -números graduados- es un recurso estilístico de uso frecuente en el Antiguo Testamento. En Deut 32:30, hay dos pares vinculados de números graduados: -¿Cómo se debe uno perseguir mil, y dos poner a diez mil en fuga, excepto? . . el Señor los había encerrado? En Isa 17: 6, la ruina de Damasco se describe en la parábola -en ella se dejarán uvas rebuscadas. . . dos o tres bayas en la parte superior. . . cuatro o cinco en las ramas más fructíferas -. Una gradación más elaborada se puede encontrar en Génesis 4:24, "Si siete veces será vengado Caín, en verdad Lamec setenta y siete veces". En Amós 1: 3-2: 15, el Señor dice: -Por tres pecados de Damasco, y por cuatro, no revocaré su castigo-, después de lo cual sigue una lista de 8 transgresiones y castigos. En Génesis 1 aparece una -serie culminante de números-: -Y fue la tarde y la mañana el primer día. . . el sexto día. . . y en el séptimo día Dios terminó la obra que había hecho ".

Grandes números ocurren con frecuencia en el Antiguo Testamento. , un exceso que tuvo que ser redimido por 5 × 273 = 1365 siclos del santuario. A veces son simbólicas o hiperbólicas, como en el sueño de Daniel en Dan 7:10: -mil miles le servían, y diez mil veces diez mil estaban delante de él- (cf. Ap. 5:11). Según Dahood (1981), el pasaje difícil Sal 4: 8 puede traducirse, -Pon gozo en mi corazón; cien mil veces (mā˓ōt) sea ​​su trigo, y su vino diez mil veces (rabbû) -De manera similar en Isa 48:19,- Tu descendencia habría sido como la arena, y el flujo de tu cuerpo como sus cien mil granos -(cf. Gen 41:49,- Y José recogió trigo como la arena del mar, mucho, hasta que dejó la numeración, porque era sin número -). La arena como símbolo de lo "innumerable" aparece también en Génesis 23:17, donde el Señor le promete a Abraham: "Multiplicaré tu descendencia como las estrellas del cielo, y como la arena que está a la orilla del mar".

Varios números ocurren con frecuencia en la Biblia y tienen un significado simbólico o cultural, en particular "7" (Gen 41:26, "Las siete vacas buenas son siete años; y las siete orejas buenas son siete años; el sueño es uno"), pero también, por ejemplo, "3" (Job fue bendecido con 7 hijos y 3 hijas), "4" (4 ríos brotaron del jardín del Edén), "10" (el número de hombres justos necesarios para salvar Sodoma), "12" (los hijos de Jacob eran 12), "40" (el número de años que los israelitas vagaron por el desierto), "70" (Jer 25:11, "estas naciones servirán al rey de Babilonia setenta años") , -1,000- (ver arriba), y muchos números derivados de estos. Los ejemplos se pueden multiplicar. Además, muchos números bíblicos (así como talmúdicos o midráshicos) tienen una estructura sexagesimal (2 Crónicas 2: -Y Salomón dijo a sesenta mil hombres que llevaran cargas, y ochenta mil para cortar en el monte, y tres mil seiscientos para vigilarlos -; Génesis 8: 6, -Y Noé tenía seiscientos años cuando el diluvio de las aguas cayó sobre la tierra-).

Se han hecho muchos intentos para encontrar correlaciones entre la sección antediluviana de la Lista de reyes sumerios y la genealogía en Génesis 5. La inutilidad de tales intentos es obvia en vista del hecho de que hay tres ofertas para la duración total de los reinados de los sumerios. reyes antes del Diluvio (67, 127 y 120 veces 3.600 años), mientras que en la Biblia hebrea los años entre la creación y el Diluvio son 1.656, en la Septuaginta 2.262 y en la recensión samaritana 1.307. No hay una regularidad discernible en las edades enumeradas de los patriarcas en el momento en que engendraron a su primer hijo o en el momento de su muerte. Por otro lado, Noé tenía incluso 500 años cuando engendró a Sem, Cam y Jafet, y 600 en el momento del Diluvio. Lamec vivió 777 años, hasta 5 años antes del Diluvio, y Matusalén vivió 969 años. solo para morir en el Diluvio. Enoc vivió durante 365 años, o durante tantos años como días hay en un año.

En Apocalipsis 7-9 se mencionan muchos números interesantes. Para mencionar algunos ejemplos: "cuatro ángeles de pie en los cuatro ángulos de la tierra, sosteniendo los cuatro vientos de la tierra", "y fueron sellados ciento cuarenta y cuatro mil de todas las tribus de los hijos de Israel", -Y cuando hubo abierto el séptimo sello, hubo silencio en el cielo por espacio de media hora; y vi a los siete ángeles que estaban delante de Dios; y se les dieron siete trompetas -,- y el cuarto ángel tocó, y la tercera parte del sol fue herida -,- y el número del ejército de los jinetes fue doscientos mil -. Aún más interesante es el conocido pasaje en Apocalipsis 13:18, -El que tiene entendimiento, cuente el número de la bestia; porque es el número de un hombre; y su número es seiscientos sesenta y seis. Es razonable suponer que este -número de la bestia- debería explicarse interpretando las letras de algún nombre detestado como números alfabéticos (Ifrah 1981: 332). El problema ha probado el ingenio de los intérpretes durante siglos y se han propuesto muchas soluciones diferentes. Si, por ejemplo, el nombre de Nero se escribe comonrw (n) ḳsr , entonces la suma de los valores de sus letras es igual a 100 + 60 + 200 + 50 + 200 + 6 = 616, o a 616 + 50 = 666. Para encontrar el sentido oculto propuesto de Muchas palabras o pasajes de las Escrituras, una especie de numerología llamada gematria (del griego geometria ) se desarrolló en las literaturas Talmúdica, Midrashica y Cabalística (Ifrah 1981: 321-36). La idea básica era interpretar palabras, o grupos de palabras, calculando las sumas de sus letras constituyentes como números alfabéticos, y relacionando las palabras entre sí si sumaban las mismas sumas de letras. Para citar solo un ejemplo: la diferencia entre las sumas de letras de los nombres hebreos de Adán y Eva (ḥawah) es (1 + 4 + 40) – (8 + 6 + 5) = 45-19 = 26, y 26 es la suma de letras de YHWH.

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      JÖRAN FRIBERG

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